Численные методы. Лекция 2: полином в форме Ньютона, Эрмита

• В новом семестре продолжается изучение численных методов, включая приближение табличных функций, вычисление интегралов, решение задач Каши и краевых задач.  

• Литература включает основную литературу, дополнительную литературу и рекомендации по разделам.  

• Экзамен будет проходить в дистанционном режиме, с блиц-опросом, традиционными вопросами и задачей.  

• Задача может быть на одну, две или три темы, в зависимости от количества данных лабораторных работ.  

• В постановке задачи используются термины "узлы" и "сеточная функция".  

• Система базисных функций должна быть линейно независимой и принадлежать пространству полных функций для обеспечения единственности решения и сходимости процесса аппроксимации.  

• Равномерная сетка имеет недостатки, и пример функции Рунге показывает неравномерное распределение ошибки интерполяции.  

• Обсуждается вопрос выбора узлов интерполяции для минимизации ошибки интерполяции.  

• Упоминается, что ошибка интерполяции зависит от константы, верхней границы производной, знаменателя и корневого полинома.  

• Предлагается использовать полиномы Чебышева для выбора узлов, чтобы корневой полином был минимальным.  

• Рассматривается интерполяционный полином Лагранжа, его запись в форме Ньютона и преимущества каждой формы.  

• Обсуждается, что интерполяция с увеличением количества узлов приводит к росту ошибки, даже на сетке Чебышева.  

• Вводятся понятия конечных и разделенных разностей, которые используются для записи интерполяционного полинома в форме Ньютона.  

• Конечные разности определяются для равномерной сетки и вычисляются через значения сеточной функции.  

• Конечные разности записываются в виде таблицы для удобства использования.  

• Физический смысл конечных разностей связан с производной функции в соответствующем узле.  

• Конечные разности используются для записи формулы Ньютона на равномерной сетке.  

• Разделенные разности используются для записи формулы Ньютона на произвольной сетке.  

• Разделенная разность первого порядка определяется через отношение превращения функции к превращению аргумента.  

• Разделенная разность порядка m определяется через разделенную разность порядка m-1.  

• Если сетка упорядоченная и равномерная, разделенные разности связаны с конечными разностями через формулу 26.  

• Это свойство понадобится для записи интерполяционного полинома Ньютона для равномерной сетки.  

• Рассуждение о том, почему форма Ньютона может быть предпочтительнее формы Лагранжа для интерполяционного полинома.  

• Форма Ньютона позволяет сохранить предыдущие слагаемые, но добавить одно новое, что улучшает качество интерполяции.  

• Интерполяционный полином в форме Ньютона имеет к корней и коэффициент гамма-ката, который определяется через разделенные разности.  

• Формула для коэффициента гамма-ката выводится из свойства разделенной разности.  

• Если сетка не меняется, то удобнее использовать полином Лагранжа.  

• Если сетка меняется, то удобнее использовать полином Ньютона.  

• Полином Ньютона может быть более вычислительно устойчивым, но его устойчивость зависит от величины слагаемых.  

• В видео обсуждается ошибка интерполяции для формулы Ньютона.  

• Ошибка интерполяции для формулы Ньютона такая же, как и для формулы Лагранжа, поскольку это один и тот же полином, только с разной записью.  

• В видео объясняется, как получить выражение для остаточного члена формулы Ньютона, используя узлы интерполяции.  

• В видео объясняется, как получить интерполяционный полином Ньютона для равномерной сетки, используя конечные разности.  

• Полученная формула называется формулой Ньютона для интерполирования вперед.  

• В видео обсуждается, как улучшить результат интерполяции, используя дополнительную информацию о функции, такую как точки перегиба или характер поведения функции.  

• В качестве примера приводится функция синус, которая может быть интерполирована с помощью полинома Лагранжа, но результат не является удовлетворительным.  

• В данном примере используется знание производных для улучшения интерполяционного полинома.  

• Если известны значения функции и производные в узлах, то можно построить полином Эрмита, который будет иметь узлы кратности два.  

• Для поиска полиномов фижиты и псижиты накладываются условия на их значения и производные в узлах.  

• Эти условия следуют из условия интерполяции и производной.  

• Для каждого полинома определяется его вид и коэффициенты.  

• Производные полиномов вычисляются с использованием условий и ограничений.  

• Доказывается, что интерполяционный полином Эрмита с узлами кратности два является единственным.  

• Теорема о остаточном члене для полинома Эрмита, который зависит от гладкости функции и расположения узлов.  

• Выражение для остаточного члена схоже с выражением для полинома Лагранжа, но с производной порядка 2 и 2.  

• Если у узлов разная кратность, можно построить интерполяционный полином степени на единицу меньше.  

• Формула для ошибки интерполяции зависит от количества узлов и кратности каждого узла.  

• Пример с полиномом Лагранжа, который учитывает значение функции и значение производной.  

• Сравнение с полиномом Эрмита, который дает лучший результат.  

• Упражнения для освоения материала и подготовки к экзаменам.