Численные методы. Лекция 1: интерполирование, полином Лагранжа

• Лекция будет записана и доступна для просмотра.  

• Лекции будут проводиться по пятницам в 10 утра.  

• Организационные моменты и правила экзамена будут обсуждены на второй лекции.  

• Четыре темы: работа с таблично заданными функциями, численное интегрирование, решение задач Коши и краевых задач.  

• Первая тема: аппроксимация таблично заданных функций, включая интерполяцию.  

• Постановка задачи: дана таблично заданная функция, нужно построить функцию, приближающую её.  

• Введение понятий упорядоченной и равномерной сетки.  

• Понятие табличной функции и её аппроксимации.  

• Критерий интерполирования: функция должна совпадать с табличными значениями в узлах.  

• Критерий сглаживания: минимизация среднеквадратического отклонения от данных.  

• Метод наименьших квадратов и его применение.  

• Интерполяция полезна для вычисления значений в промежуточных точках.  

• Удобство работы с аналитическим выражением вместо множества точек.  

• Упрощение вычислений сложных функций с помощью полиномиальной интерполяции.  

• Интерполяция используется в численном интегрировании для подмены функции полиномом.  

• Численное дифференцирование также использует интерполяцию для вычисления производных.  

• Обобщенные функции фижиты являются гладкими и конечным множеством.  

• Обобщенная функция фиат икс представляется как линейная комбинация базисных функций.  

• Коэффициенты определяются по критерию близости функции фи к множеству игрек и их.  

• Базисные функции фижиты должны быть линейно независимыми.  

• Линейно независимые функции удовлетворяют двум условиям: линейная комбинация равна нулю только при всех коэффициентах равных нулю и система функций принадлежит пространству полных функций.  

• Пространство полных функций полно в некотором пространстве икс большое.  

• Любую функцию фи можно приблизить линейной комбинацией функций фижи.  

• Нормальное расстояние между функцией фи и обобщенным полиномом можно сделать сколь угодно малым.  

• Пример: фижи от икс равно икс в степени ж, что приводит к полиному.  

• Теорема Веща-Трасса: любую непрерывную функцию можно приблизить полиномом с вещественными коэффициентами.  

• Пример: тригонометрические функции: единица, косинус, синус и т.д.  

• Полиномиальная интерполяция использует полином степени эм.  

• Условия интерполяции: полином проходит через точки и удовлетворяет критериям интерполяции.  

• Система уравнений для нахождения коэффициентов полинома.  

• Степень полинома эм должна быть на единицу меньше количества точек.  

• Узлы интерполяции должны быть попарно различны.  

• Определитель системы уравнений должен быть отличен от нуля.  

• Подход "в лоб" не всегда численно устойчив.  

• Интерполяционный полином ищут в более устойчивой форме, например, в форме Лагранжа.  

• Полином Лагранжа записывается в виде линейной комбинации функций фиита.  

• Функции фиита в узлах, кроме икс и т, равны нулю, а в икс и т равны единице.  

• Константа альфа и подбирается для обеспечения условия фиита от икс и т равно единице.  

• Формула включает сумму n+1 слагаемых, каждое из которых является произведением yi и xi-xk.  

• В знаменателе стоит xi-xk, что никогда не обращается в ноль.  

• Степень полинома равна n, так как каждое слагаемое имеет степень n.  

• Корневой полином задается как произведение x-xk, где xk - узлы интерполяции.  

• Производная корневого полинома позволяет записать базисную функцию через корневой полином и его производную.  

• Это приводит к еще одной формуле для интерполяционного полинома Лагранжа.  

• Пример с четырьмя узлами: x0=0, x1=2, x2=3, x3=5.  

• Использование формулы Лагранжа позволяет записать полином в канонической форме.  

• На практике не обязательно приводить подобные слагаемые, чтобы избежать погрешностей.  

• Для равномерной сетки узлы расположены на одинаковом расстоянии.  

• Можно заранее вычислить разности x-xk и xi-xk, что упрощает вычисления.  

• Это позволяет получить компактное выражение для полинома Лагранжа.  

• Коэффициенты при yi не зависят от функции и дискретности сетки.  

• Их можно вычислить заранее и использовать готовые таблицы.  

• Это упрощает и ускоряет вычисления интерполяционного полинома.  

• Ошибки метода, неустранимая погрешность и погрешность округления влияют на точность интерполяции.  

• Ошибка метода зависит от отклонения полинома от функции между узлами.  

• Неустранимая погрешность возникает из-за приближенных данных.  

• Пример с функцией синус 2πx показывает, что даже небольшие погрешности в данных могут сильно повлиять на интерполяционный полином.  

• Полином, построенный по возмущенным данным, может сильно отклоняться от исходной функции.  

• Это иллюстрирует неустойчивость метода к возмущениям исходных данных.  

• Погрешность метода оценивается в точках между узлами.  

• Функция должна иметь непрерывные производные до порядка n+1 на отрезке интерполяции.  

• Отклонение между функцией и полиномом обозначается как rn от x.  

• Цель - получить аналитическое выражение для ошибки интерполяции.  

• Рассматривается вспомогательная функция f_i от x, равная y_i от x минус l_i от x.  

• Функция f_i имеет n+1 корней, включая узлы интерполяции.  

• Константа k подбирается так, чтобы f_i в интересующей точке x равнялась нулю.  

• Выражение для константы k включает ошибку интерполяции и корневой полином.  

• Функция f_i имеет производные до порядка n+1.  

• Функция имеет n+2 корня, включая узлы интерполяции и точку x.  

• n+1-я производная функции f_i имеет один корень на отрезке.  

• Вычисление n+1-й производной функции f_i.  

• Получение выражения для константы k.  

• Ошибка интерполяции равна k умножить на корневой полином.  

• Ошибка интерполяции зависит от производной n+1-го порядка и количества узлов.  

• Можно получить верхнюю границу ошибки, зная точную производную.  

• Недостаток формулы - неизвестность точки x.  

• Пример с логарифмом и интерполяционным полиномом.  

• Вычисление производной n+1-го порядка и оценка ошибки.  

• Ошибка в точке x равна 2.3 умножить на 10^-9, что близко к истинному значению.  

• Увеличение количества узлов сначала уменьшает ошибку.  

• С некоторого момента ошибка начинает расти, процесс расходится.  

• Представлен классический пример функции из книг.  

• Построен интерполяционный полином Лагранжа по шести узлам.  

• График полинома пятой степени показывает, что он неплохо приближает функцию, но не идеально.  

• Увеличение степени полинома до десятой улучшает качество приближения в центральной части отрезка.  

• Однако на концах отрезка качество ухудшается из-за осцилляций.  

• Процесс интерполяции расходится на равномерной сетке с увеличением количества узлов.  

• Вопрос: как выбирать узлы интерполяции для минимизации ошибки?  

• Ошибка интерполяции зависит от значения первой производной функции и корневого полинома.  

• Выбор узлов может повлиять на ошибку, если узлы попарно различны и лежат на отрезке.  

• На следующей лекции будет обсуждаться, как выбирать узлы для минимизации ошибки интерполяции.  

• Вопросы по материалам можно задавать.