Шапошников С. В. - Математический анализ II - Открытые замкнутые множества. Замыкание множества

• В теореме утверждается, что если последовательность функций из класса C1 на отрезке [a, b] сходится равномерно к функции f, то f' = f.  

• Это утверждение можно заменить на более простое: если последовательность функций сходится к f равномерно на отрезке [a, b], то f' = f.  

• Следствие из теоремы - это линейное пространство C1 на отрезке [a, b], состоящее из дифференцируемых функций с непрерывными производными.  

• Это пространство является полным, то есть удовлетворяет критерию Коши.  

• Это пример полного пространства, которое полезно иметь в виду для понимания анализа.  

• Доказывается сходимость последовательности функций в пространстве непрерывных функций, используя неравенство треугольника и фундаментальную последовательность.  

• Доказывается, что последовательность производных также сходится равномерно к некоторой функции.  

• Приводится пример двух норм в пространстве непрерывных функций, которые не эквивалентны.  

• Объясняется, почему эти нормы не эквивалентны, используя неравенства и производные функций.  

• Определение открытого множества: для каждой точки в множестве существует окрестность, которая содержится в множестве.  

• Определение замкнутого множества: дополнение множества открыто.  

• Открытый шар - открытое множество.  

• Замкнутый шар - замкнутое множество.  

• Если подпространство конечномерно, то оно замкнуто.  

• Доказательство: если взять точку в дополнении подпространства, то можно предъявить шар, который не пересекается с подпространством.  

• В видео обсуждается задача о том, как взаимодействуют вектор а и вектора из пространства, и как это связано с расстоянием между ними.  

• Вводится новая норма на пространстве, эквивалентная исходной норме, и доказывается, что единичный шар с центром в векторе а не пересекается с исходным пространством.  

• Обсуждаются примеры замкнутых множеств в линейном пространстве, включая подпространства и объединения открытых множеств.  

• Доказывается, что объединение конечного набора открытых множеств является открытым множеством, а пересечение конечного набора замкнутых множеств - замкнутым множеством.  

• Открытые множества состоят из шаров, которые могут пересекаться.  

• Пример: сухой бассейн, где вместо воды шарики, и дети могут плавать в них.  

• Замкнутые множества содержат все свои граничные и предельные точки.  

• Теорема: замкнутое множество содержит все свои граничные и предельные точки.  

• Доказательство из первого пункта следует второй, из второго - третий, из третьего - четвертый, из четвертого - первый.  

• Пример: замкнутое множество содержит все свои граничные точки.  

• В видео обсуждается понятие замкнутого множества и его свойства.  

• Замкнутое множество - это множество, содержащее все свои граничные точки.  

• Замкнутое множество также является наименьшим из всех замкнутых множеств, содержащих его.  

• Замкнутое множество с чертой - это объединение множества с его граничными точками.  

• Замкнутое множество с чертой является наименьшим замкнутым множеством, содержащим данное множество.  

• Если множество замкнуто, то оно равно множеству с чертой.