Солодов А.П. - Математический анализ.Часть 1.Лекции - 18. Формула Тейлора для некоторых функций

• Лекция посвящена теореме Тейлора, которая позволяет представить функцию в виде многочлена и остаточного члена.  

• Любая сложная функция может быть представлена как сумма многочлена и остаточного члена, который является бесконечно малой величиной.  

• Теоремы Тейлора определяют, что остаточный член является бесконечно малой величиной высокого порядка.  

• Теорема Тейлора требует существования всех производных функции в точке x0.  

• Если производные существуют, то остаточный член можно представить как бесконечно малую величину.  

• Глобальные формулы Тейлора требуют непрерывности производных в точке x0 и существования функции для всех значений в проколотой окрестности.  

• Теорема Лагранжа позволяет выписать остаточный член в другой форме.  

• Для качественного поведения функции при стремлении x к x0 используется теорема Пиана.  

• Для количественной информации о величине остаточного члена применяются различные формулы.  

• Многочлен Тейлора функции f в точке x0 представляет собой сумму производных функции, деленных на факториалы и умноженных на x-x0 в степени k.  

• Для быстрого вычисления многочлена нужно уметь считать производные произвольного порядка.  

• Таблица производных элементарных функций помогает в вычислении многочлена Тейлора.  

• Многочлен Тейлора для экспоненты: сумма x^k, деленная на k!  

• Многочлен Тейлора для косинуса: сумма косинуса x+π/2n, деленная на 2n!  

• Многочлен Тейлора для синуса: сумма синуса x+π/2n, деленная на 2n-1!  

• Многочлен Тейлора для 1+x^α: сумма x^k, деленная на факториалы, где α не является натуральным числом.  

• Для натуральных α используется формула бинома Ньютона.  

• Многочлен Тейлора для логарифма: сумма x^k, деленная на k! и умноженная на -1^k-1.  

• Формула Тейлора позволяет вычислять асимптотики функций при x стремящемся к нулю.  

• Формула  

• Обсуждение теорем 2 и 3, их эффективности и применения для вычисления реальных значений функций.  

• Пример с экспонентой: оценка остаточного члена многочлена Тейлора.  

• Использование теоремы 2 для оценки остаточного члена.  

• Оценка остаточного члена по модулю.  

• Применение теоремы 2 для оценки производной функции.  

• Пример с числом е и его оценкой.  

• Сравнение оценок для числа е.  

• Оценка аппроксимации иррациональных чисел рациональными дробями.  

• Пример с тригонометрическими функциями.  

• Использование остаточного члена в форме Каши.  

• Пример с логарифмом и его оценкой.  

• Оценка производной логарифма и использование компенсационного множителя.  

• Оценка модуля остаточного члена в форме Каши.  

• Пример с логарифмом и его производной.  

• Компенсационный множитель и его влияние на оценку.  

• Разложение арктангенса в многочлен Тейлора.  

• Использование первой производной функции.  

• Аппроксимация функции и нахождение многочлена Тейлора.  

• Производная арктангенса в точке x = 0 равна нулю.  

• Производная арктангенса порядка 2k + 1 в точке x = 0 равна -1^k / 2^k!.  

• Эти значения определяют многочлен Тейлора для арктангенса.  

• Многочлен Тейлора порядка 2n + 1 для арктангенса в точке x = 0 равен сумме слагаемых.  

• Четные слагаемые отсутствуют, нечетные делятся на 2^k + 1.  

• Формула: -1^k x^(2k + 1) / 2^k + 1.  

• Формула Тейлора позволяет вычислять пределы рациональных дробей.  

• Элементарные функции сводятся к почти рациональным дробям.  

• Переход к теоретическим приложениям и теореме Ферма.  

• Необходимое условие локального экстремума: производная в точке экстремума равна нулю.  

• Это условие не является достаточным.  

• Пример функции y = x^3, где производная в точке 0 равна нулю, но экстремума нет.  

• Функция дифференцируема в проколотой окрестности точки x = 0.  

• Если производная меньше нуля слева и больше нуля справа, x = 0 - точка строгого локального минимума.  

• Если производная больше нуля слева и меньше нуля справа, x = 0 - точка строгого локального максимума.  

• Функция непрерывна и дифференцируема на отрезке x - x0.  

• Если производная меньше нуля, функция строго монотонно убывает.  

• Если производная больше нуля, функция строго монотонно возрастает.  

• Для всех x из проколотой окрестности значение функции больше в точке x = 0.  

• Вторая производная существует в точке x = 0.  

• Если первая производная равна нулю, а вторая положительна, x = 0 - точка строгого локального минимума.  

• Если первая производная равна нулю, а вторая отрицательна, x = 0 - точка строгого локального максимума.  

•   

• Функция, имеющая предел положительное число вблизи точки x0, сохраняет свойства положительности.  

• В окрестности точки x0 существует проколотая окрестность, где f2x0+o1 больше нуля.  

• В этой окрестности fx больше, чем fx0, так как к fx0 добавляется положительная величина.  

• Экстремумы функции fx0 могут быть либо больше нуля, либо меньше нуля.  

• Равенство нулю ускорения f'x0 редко встречается, но возможно.  

• Экстремумы выглядят как параболы: ветви вверх - минимум, ветви вниз - максимум.  

• Выпуклость - важное понятие в математике, которое улучшает монотонность.  

• Выпуклость позволяет быстрее аппроксимировать процессы.  

• Определение выпуклости: функция fx выпукла, если для любых точек x1 и x2 и любых положительных чисел лямбда и мю, сумма которых равна единице, выполняется неравенство fλx1+μx2≤λf1+μx2.  

• Выпуклая комбинация точек x1 и x2 лежит выше графика функции.  

• Хорда, соединяющая две точки, расположена строго выше графика функции.  

• Строгая выпуклость: неравенство строгое, нестрогая выпуклость: неравенство нестрогое.  

• Для выпуклых функций тангенс угла наклона хорды возрастает при движении слева направо.  

• Доказательство: подстановка значений и преобразование неравенства.  

• Лемма: если функция выпукла, тангенс угла наклона возрастает или не убывает.  

• Выпуклость - сложная тема, которая будет обсуждаться еще минимум два раза.  

• В понедельник будет продолжение обсуждения выпуклых функций.