Дифференциальные уравнения Ильяшенко Ю.С. Лекция 01.09.23

• Юрий Сергеевич Евгешенко приветствует зрителей и представляет учебник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.  

• Учебник охватывает два семестра и включает дополнительные главы.  

• Дифференциальные уравнения описывают эволюционные процессы во Вселенной.  

• Лаплас считал дифференциальные уравнения универсальными и сформулировал гипотезу о состоянии Вселенной.  

• Гипотеза предполагает, что состояние Вселенной описывается дифференциальным уравнением.  

• Юрий Сергеевич подчеркивает, что гипотеза Лапласа символизирует мощь дифференциальных уравнений.  

• Векторное поле сопоставляет каждой точке области вектор.  

• Область определения векторного поля называется фазовым пространством.  

• Дифференциальное уравнение записывается как символ, который приобретает смысл при определении решения.  

• Решение дифференциального уравнения — это отображение интервалов оси времени в фазовое пространство.  

• Скорость движения в каждый момент времени определяется производной отображения.  

• Интегральная кривая — это график решения, а фазовая кривая — это путь кораблика в фазовом пространстве.  

• Расширенное фазовое пространство включает базовое пространство и ось времени.  

• Интегральная кривая — это множество точек в расширенном фазовом пространстве.  

• Фазовая кривая — это проекция интегральной кривой на фазовое пространство.  

• Курс будет включать аналитическую и геометрическую составляющие.  

• Первые несколько лет будут посвящены элементарным дифференциальным уравнениям и интегрируемым уравнениям.  

• Основная теория будет включать теоремы существования и единственности решения.  

• Линейные дифференциальные уравнения связаны с линейной алгеброй.  

• В начале второго модуля будет рассмотрена нелинейная теория.  

• Обзор заканчивается, переходим к простейшим дифференциальным уравнениям.  

• Уравнение, где векторное поле не зависит от времени, называется автономным.  

• Уравнение с зависимостью от времени называется неавтономным.  

• Пример автономного уравнения: X = Vx.  

• Через каждую точку расширенного фазового пространства проходит одна и только одна интегральная кривая.  

• Это теорема существования и единственности.  

• Задача найти решение дифференциального уравнения с начальными условиями.  

• Точка, где векторное поле равно нулю, называется особой.  

• В окрестности особой точки векторное поле может быть сложным.  

• Теорема 2: Если A и B соседние особые точки, то решение определено на всем интервале и асимптотически стремится к этим точкам.  

• График функции V строится на плоскости X-T.  

• В точках A и B функция V равна нулю.  

• Решение определено на всем интервале и асимптотически стремится к особым точкам.  

• Решение определено на всем интервале и асимптотически стремится к особым точкам.  

• Решение монотонно возрастает и ограничено снизу.  

• Время прохождения отрезка между особыми точками ограничено снизу.  

• Кривая асимптотически приближается к особой точке.  

• Доказательство опирается на теорему единственности.  

• Иллюстрация работы геометрии в теории дифференциальных уравнений.  

• Теорема позволяет рисовать интегральные кривые без решения уравнения.  

• Рисование интегральных кривых в полосе между особыми точками.  

• Использование осей времени и значений функции.  

• Функция ведет себя определенным образом на бесконечности.  

• Рисование интегральных кривых в любой полосе между особыми точками.  

• Пример с функцией, отрицательной на бесконечности.  

• Интегральные кривые образуют костяк картины.  

• Кривые стремятся к границам полосы и не пересекаются.  

• Пример с функцией, возрастающей на бесконечности.  

• В полосе между особыми точками бесконечно много интегральных кривых.  

• Кривые связаны параллельным переносом.  

• Пример с переносом кривой для другого времени.  

• Поле направлений сопоставляет каждой точке области проходящую через неё прямую.  

• Определение поля направлений и его связь с дифференциальным уравнением.  

• Пример с направляющим вектором и его компонентами.  

• Интегральная кривая поля направлений касается направлений поля в каждой точке.  

• Предложение о вертикальных прямых в поле направлений.  

• Интегральные кривые поля направлений и их связь с интегральными кривыми дифференциального уравнения.  

• Решение дифференциальных уравнений требует анализа.  

• Пример уравнения, описывающего свободное размножение.  

• Важность бережного отношения к ресурсам Земли.