Лекция 39. Многочлены от оператора. Теорема Кэли-Гамильтона. Минимальный многочлен оператора

• Обсуждение разницы между многочленами от матрицы и матричными многочленами.  

• Многочлены от матрицы коммутируют, а матричные многочлены нет.  

• Переход к доказательству теоремы Кэли-Гамильтона.  

• Введение гомоморфизма эволюции, сопоставляющего многочлены элементам алгебры.  

• Применение гомоморфизма к матрицам и линейным операторам.  

• Возможность подстановки многочленов в матрицы и операторов в многочлены.  

• Определение многочлена от матрицы и его отличие от матричного многочлена.  

• Многочлены от матрицы коммутируют.  

• Применение гомоморфизма эволюции к операторам и их свойства.  

• Определение матричного многочлена и его отличие от обычных многочленов.  

• Матричные многочлены не коммутируют.  

• Важность понимания разницы между многочленами от матрицы и матричными многочленами.  

• Связь матрицы многочлена от оператора с матрицей исходного оператора.  

• Доказательство, что матрица многочлена от оператора равна супрайсу.  

• Важность этого факта для дальнейшего использования.  

• Связь собственных чисел и собственных векторов многочлена от оператора.  

• Доказательство, что общий собственный вектор двух операторов остается собственным вектором их суммы и произведения.  

• Применение леммы для доказательства связи собственных чисел и векторов.  

• Обсуждается, что умножение на скаляр должно быть гомоморфизмом алгебр.  

• Формулируется, что каждый вектор должен определять гомоморфизм в поле.  

• Проверяется правильность формулировки.  

• Доказывается, что альфа фи отвы равняется фи в от альфа.  

• Объясняется, что любой многочлен от оператора получается применением трех операций.  

• Формулируется теорема Кэли-Гамильтона.  

• Любая матрица степени n аннулируется многочленом степени n^2.  

• Теорема Кэли-Гамильтона утверждает, что квадратная матрица аннулируется многочленом степени n.  

• Рассматривается геометрическое и алгебраическое доказательство теоремы.  

• Обсуждается геометрическое доказательство теоремы Кэли-Гамильтона.  

• Утверждается, что любая матрица является корнем своего характеристического многочлена.  

• Рассматривается случай n=2 и доказательство для комплексных чисел.  

• Обсуждается алгебраическое доказательство теоремы Кэли-Гамильтона.  

• Доказывается, что матрица является корнем своего характеристического многочлена над коммутативным кольцом.  

• Рассматривается случай n=2 и доказательство для комплексных чисел.  

• Второй коэффициент - след, третий - определитель.  

• Коэффициент при первой степени матрицы равен сумме главных миноров порядка два.  

• Теорема Гамильтона-Кэли утверждает, что любая матрица является корнем характеристического многочлена.  

• Теорема Лапласа используется для доказательства.  

• Подстановка матрицы в многочлен приводит к нулю.  

• Доказательство показывает, что любая матрица является корнем характеристического многочлена.  

• Правильное доказательство использует гомоморфизм.  

• Неправильное доказательство подставляет матрицу в многочлен с некоммутативными коэффициентами.  

• Важно понимать, почему можно подставлять матрицу в многочлен с коммутативными коэффициентами.  

• Доказательство для поля аналогично для любого коммутативного кольца.  

• Переход к алгебраически замкнутому полю не меняет результат.  

• Каждый линейный оператор имеет собственный вектор, что означает корень характеристического многочлена.  

• Доказательство основной теоремы высшей алгебры.  

• Использование индукции по размерности.  

• База индукции: оператор на одномерном пространстве является гомотети.  

• Предположим, что для меньших размерностей теорема доказана.  

• Оператор на n-мерном пространстве имеет собственный вектор.  

• Поле алгебраически замкнуто, что позволяет найти базис.  

• Оператор действует одинаково на фактор-пространстве.  

• Матрица оператора в новом базисе.  

• Применение оператора к векторам в новом базисе.  

• Матрица оператора в новом базисе.  

• Использование индукционного предположения.  

• Доказательство, что образ оператора содержится в подпространстве.  

• Доказательство в алгебраическом стиле.  

• Понимание смысла выкладок.  

• Рассмотрение матричного многочлена и его коэффициентов.  

• Обсуждение равенства многочленов от матриц.  

• Условие коммутации коэффициентов многочлена.  

• Доказательство, что коэффициенты являются многочленами от матрицы.  

• Сравнение степеней и коэффициентов многочленов.  

• Рекуррентное соотношение для степеней многочленов.  

• Заключение о том, что все многочлены являются многочленами от матрицы.  

• Объяснение, почему доказательство важно.  

• Применение доказательства к размерности матриц.  

• Введение понятия аннулирующего многочлена.  

• Формулировка теоремы Кэли-Гамильтона.  

• Объяснение, почему многочлены от одной матрицы коммутируют.  

• Следствие: любая матрица имеет аннулирующий многочлен.  

• Обратная матрица как многочлен от исходной матрицы.  

• Доказательство для почти коммутативных колец.  

• Введение задачи на понимание почти коммутативных колец.  

• Связь изучения векторных пространств и модулей.  

• Преобразование векторного пространства в модуль.  

• Вопрос о выборе языка для изучения векторных пространств.  

• Обсуждение лямбда-матриц и структуры модулей.  

• Призыв к студентам принять решение о языке изучения.  

• Завершение лекции и подготовка к следующей.  

• Рассматривается минимальный многочлен оператора.  

• Кольцо главных идеалов порождается одним элементом.  

• Оператор фи на векторном пространстве В над полем.  

• Многочлен фск т называется аннулирующим для вектора в относительно оператора фи, если ф фи от в равно нулю.  

• Множество всех аннулирующих многочленов обозначается как аннулятор в.  

• Аннулятор любого вектора является идеалом.  

• Доказательство: сумма аннулирующих многочленов равна нулю, произведение аннулирующего многочлена на любой многочлен также равно нулю.  

• Аннулятор является идеалом алгебры.  

• Минимальный аннулирующий многочлен порождает аннулятор.  

• Минимальный аннулирующий многочлен в наименьшей степени.  

• Аннулятор оператора фи - пересечение аннуляторов всех векторов относительно фи.  

• Минимальный аннулирующий многочлен оператора порождает аннулятор.  

• Степень минимального аннулирующего многочлена не превосходит размерности векторного пространства.