Лекция по алгебре и геометрии №6. Уравнения поверхностей второго порядка.

• Поверхности второго порядка задаются уравнением вида ax^2 + by^2 + cz^2 + 2xy + 2yz + 2zx + 2yz = 0.  

• Первые шесть слагаемых представляют собой квадратичную форму, а следующие три слагаемых - линейную форму.  

• Свободный член a является константой.  

• Эллипсоид имеет уравнение ax^2 + by^2 + cz^2 = 1.  

• Первые шесть коэффициентов квадратичной формы не должны быть все равны нулю.  

• Эллипсоид асимметричен относительно координатных плоскостей и симметричен относительно начала координат.  

• Эллипсоид лежит внутри прямоугольного параллелепипеда.  

• Объем эллипсоида равен нулю, но объем тела, ограниченного эллипсоидом, положителен.  

• Эллипсоид можно представить как сплющенную сферу.  

• Рассматриваются три поверхности: ax^2 + by^2 - cz^2 = 1, ax^2 + by^2 + cz^2 = 0 и ax^2 + by^2 - cz^2 = -1.  

• Первая поверхность называется однополосным гиперболоидом.  

• Вторая поверхность называется двухполосным гиперболоидом.  

• Рассматривается поверхность ax^2 + by^2 - cz^2 = 0.  

• Если точка принадлежит поверхности, то вся прямая, соединяющая эту точку с началом координат, также принадлежит поверхности.  

• Поверхность пересекается с плоскостью z = c, образуя конус.  

• Нарисованы все три поверхности: однополосный гиперболоид, двухполосный гиперболоид и конус.  

• Конус изображен на плоскости x-y с полосами a и b, поднятыми на высоту c.  

• Гиперболоид выражается через икс и игрек.  

• Гиперболоид ниже конуса.  

• Разность между гиперболоидом и конусом стремится к нулю при больших значениях икс и игрек.  

• Гиперболоид выше конуса.  

• Разница между гиперболоидом и конусом уменьшается до нуля при больших значениях икс и игрек.  

• При определенных условиях гиперболоид становится окружностью.  

• Эллипсоиды могут быть окружностями или гиперболоидами вращения.  

• Эллипсоиды вращения вокруг осей икс и игрек.  

• Эллипсоиды не обязательно совпадают с фронтальными эллипсоидами.  

• Эллиптический параболоид: игрек равен икс квадрат плюс игрек квадрат.  

• Гиперболический параболоид: зет равен икс квадрат минус игрек квадрат.  

• Параболоиды не могут быть однополосными или эллиптическими гиперболоидами.  

• Комбинированный метод сечения для параболоидов.  

• Параболы в плоскостях икс равно нулю и игрек равно нулю.  

• Вершины парабол лежат на плоскости о-икс-зет.  

• Гиперболический параболоид строится аналогично эллиптическому.  

• Параболы с осями вниз и вверх.  

• Вершины лежат на параболах, образующих гиперболический параболоид.  

• Цилиндрическая поверхность: плоскость, кривая, прямая.  

• Коническая поверхность: плоская кривая, точка вне плоскости, прямые.  

• Образующие и направляющие для цилиндрических и конических поверхностей.  

• Общее уравнение поверхности второго порядка.  

• Избавление от икс-игрек поворотом системы координат.  

• Приведение уравнения к каноническому виду для кривых и поверхностей.  

• Процесс избавления от переменных икс-игрек и игрек-зет сложнее, чем для кривых.  

• Существует план трехмерного пространства, при котором коэффициенты при икс, игрек и зет равны.  

• Уравнение гиперповерхности второго порядка включает множество слагаемых.  

• Общее уравнение поверхности второго порядка можно записать как сумму квадратов слагаемых.  

• Это квадратичная форма, которая является линейной формой.  

• В конце семестра будет доказано, что можно избавиться от произведений функций.  

• Уравнение поверхности сводится к сумме квадратов и произведений.  

• Переход к новой системе координат с помощью поворота позволяет избавиться от произведений.  

• Это будет доказано в конце семестра.  

• Если не один, не ноль, можно избавиться от члена с икс.  

• Для лямбды два и лямбды три аналогично.  

• Это позволяет упростить уравнение поверхности.  

• Существует пять случаев: плюс плюс плюс, плюс плюс минус, плюс плюс ноль, плюс минус ноль и плюс ноль ноль.  

• В случае плюс плюс плюс получаем эллиптический проболоид.  

• В случае плюс плюс ноль получаем эллиптический цилиндр.  

• Если а три равно нулю, получаем эллиптический цилиндр.  

• Эллиптический цилиндр определяется отсутствием одной из переменных.  

• В случае эллиптического цилиндра все три переменные присутствуют.  

• Если а плюс минус ноль, получаем гиперболический цилиндр.  

• Гиперболический цилиндр определяется отсутствием одной из переменных.  

• В случае гиперболического цилиндра все три переменные присутствуют.  

• Если а плюс ноль ноль, получаем параболический цилиндр.  

• Параболический цилиндр определяется отсутствием одной из переменных.  

• В случае параболического цилиндра все три переменные присутствуют.  

• Классификация всех поверхностей второго порядка завершена.  

• В трехмерном пространстве также существует классификация гиперповерхностей второго порядка.  

• Начиная с третьего измерения, классификация становится сложнее из-за бесконечного множества видов кривых.