Пример всюду непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции

• Лекция посвящена математическому анализу и построению непрерывной функции, не имеющей производной.  

• Долгое время считалось, что такие функции не существуют, но в конце XIX века Верштрасс и в 1930 году Вандерварден предложили примеры таких функций.  

• В лекции будет рассмотрен пример Вандервардена с некоторыми изменениями.  

• Обычные функции дифференцируемы почти всюду, если они монотонны.  

• Нарушение монотонности приводит к контрпримерам.  

• Построенная функция не монотонна, что будет показано в качестве домашнего задания.  

• Пример с модулем икс: функция непрерывна, но не имеет производной в нуле.  

• Пример с функцией, где предел в нуле не существует.  

• Непрерывность и дифференцируемость - локальные понятия.  

• Пример с функцией, не имеющей производной в двух точках.  

• Графическая интерпретация: отсутствие касательной означает отсутствие производной.  

• Возможность построения функции с отсутствием производной в счетном множестве точек.  

• Пример функции с отсутствием производной в изолированных точках.  

• Обобщение примера на множество рациональных чисел.  

• Всюду плотность множества рациональных чисел.  

• Построение функции с особенностями в рациональных точках.  

• Пример функции, не имеющей производной во всех рациональных точках.  

• Самостоятельное доказательство отсутствия производной в рациональных точках.  

• Верштрасс построил функцию, не имеющую производной нигде.  

• Пример функции: сумма по рациональным числам.  

• Самостоятельное доказательство отсутствия производной в рациональных точках.  

• Функция Вирштрасса не имеет производной ни в одной точке.  

• Пример функции: расстояние от точки до ближайшей точки с целочисленной абсциссой.  

• Рассматриваются функции, которые строятся из этой функции.  

• Рассматриваются функции фн от икс, которые строятся из функции ф нулевое от икс.  

• Сумма этих функций не имеет производной.  

• Функции фн от икс ограничены и непрерывны.  

• Функция ф0 линейна на каждом отрезке.  

• Функция ф1 обращается в ноль при целочисленных значениях икс.  

• Функция ф1 ограничена и периодична с периодом в четыре раза меньше, чем у ф0.  

• Функция ф2 от икс имеет нули при целочисленных значениях икс.  

• Период функции ф2 в четыре раза меньше, чем у ф1.  

• Функция ф2 ограничена и линейна на каждом отрезке.  

• Функция ф3 от икс имеет линейность на каждом отрезке.  

• Функция ф4 от икс также линейна на каждом отрезке.  

• Интервалы линейности функций фн от икс можно записать в виде дельта н.  

• Сложение функций ф0 и ф1 дает линейную функцию.  

• Сложение функций ф0 и ф2 также дает линейную функцию.  

• Построение графика суммы функций ф0, ф1 и ф2.  

• Построение графика суммы функций ф0 и ф1.  

• Использование плейлиста для изучения способов построения графиков.  

• Переход к сложению с функцией ф2.  

• Линейность функции ф2 на маленьких отрезках.  

• Сложение линейных функций с угловым коэффициентом 3x.  

• Построение суммы с угловым коэффициентом 3x.  

• Сложение функций ф0, ф1 и ф2.  

• Построение графика с угловым коэффициентом 3x.  

• Добавление зубчиков и повторение процесса.  

• Построение функции ф как суммы трех функций.  

• Доказательство отсутствия производной в любой точке.  

• Построение вложенных отрезков и линейности функций.  

• Построение точек на расстоянии дельтан/2 от исходной точки.  

• Приращение функции фн+1 равно нулю.  

• Приращение функции для к меньше или равно н равно плюс-минус единице.  

• Сумма приращений функции равна определенному числу.  

• Предел отношения приращения функции к приращению аргумента не существует.  

• Домашнее задание: показать, что функция ф не монотонна.  

• Прощание до сентября и благодарность за внимание.