Семинар 3. Движение тел с переменной массой

• Рассматривается движение тел с переменной массой, включая реактивное движение.  

• Уравнение Мещерского описывает такое движение: F = m dv/dt + u dm/dt.  

• Реактивная сила u dm/dt может быть как положительной, так и отрицательной.  

• Пример с тележкой, из которой сыпется песок: относительная скорость отделения песка равна нулю.  

• Пример с платформой, на которую насыпается песок: относительная скорость равна минус v.  

• Уравнение движения в этих случаях формально напоминает обычное уравнение Ньютона, но с переменной массой.  

• Тележка с переменной массой, на которую насыпается песок из бункера.  

• Бункер перемещается с постоянной скоростью вправо.  

• Задача: определить скорость платформы к моменту, когда бункер ее обгонит.  

• Масса платформы меняется по закону m = m0 + alpha t.  

• Уравнение Мещерского: F = m dv/dt + u dm/dt.  

• Относительная скорость: v = v0 - v.  

• Решение: v = alpha t / m0 + alpha t.  

• Найдена зависимость скорости от времени.  

• При t=0 скорость равна нулю, платформа неподвижна.  

• Необходимо найти время загрузки платформы.  

• Относительная скорость v0-v.  

• Интегрирование от 0 до t.  

• Использование интеграла для нахождения времени загрузки.  

• Прибавление и вычитание m0.  

• Интеграл упрощается, остается логарифм.  

• Время загрузки выражается через экспоненту.  

• Две тележки с дворниками движутся по рельсам.  

• Первый дворник сметает снег, второй ничего не делает.  

• Вопрос: как зависит скорость тележек от времени и кто быстрее?  

• Относительная скорость падающих снежинок равна -v.  

• Импульс сохраняется, масса тележки меняется.  

• Скорость тележки равна начальной скорости, деленной на массу тележки плюс масса снега.  

• Снежинки сначала падают на тележку, затем сметаются.  

• Уравнение для скорости тележки: m0v = -vmu dt.  

• Превращение массы тележки равно -vmu dt.  

• Интегрирование дифференциального уравнения с использованием логарифмов и экспонент.  

• Сравнение рациональной функции и экспоненты.  

• Использование формул разложения для исследования соотношения.  

• Сравнение рациональной функции и экспоненты.  

• Разложение по формулам Тейлора для исследования бесконечно малых величин.  

• Сравнение первого и второго порядка малости.  

• Выводы о скорости и эффективности действий.  

• Опережение физиков в сообщении информации.  

• Подготовка к использованию формул Тейлора в будущем.  

• Введение в задачу о движении ракеты под действием реактивной силы.  

• Формула Циолковского и условия задачи.  

• Исследование максимального значения импульса ракеты.  

• Вычисление скорости ракеты как функции времени.  

• Исследование импульса ракеты на максимум.  

• Определение массы, при которой импульс максимален.  

• Задача о движении ракеты вертикально вверх с постоянным ускорением.  

• Уравнение Мещерского для движения ракеты.  

• Определение закона изменения массы ракеты и расхода топлива.  

• Ракета запускается с небольшой высоты и летит горизонтально с ускорением а.  

• Реактивная струя направлена под углом к горизонтали.  

• Сопротивление воздуха пренебрегается.  

• Горизонтальное ускорение ракеты равно мю на м косинус альфа.  

• Вертикальное ускорение компенсирует вес ракеты.  

• Угол выпуска струи определяет горизонтальное движение ракеты.  

• Для мягкой вертикальной посадки космического корабля используются тормозные реактивные двигатели.  

• Корабль опускается с постоянным ускорением три же.  

• Высота выключения двигателя определяется по израсходованному топливу.  

• Двухступенчатая ракета состоит из двух одинаковых ракет с одинаковым отношением массы топлива к массе конструкции.  

• Одноступенчатая ракета должна достичь той же конечной скорости, что и двухступенчатая.  

• Отношение массы топлива к массе конструкции у одноступенчатой ракеты должно быть в два раза больше.  

• Рассматривается ракета противовоздушной обороны, требующая сбить самолет противника.  

• Задача требует решения уравнения для определения отношения массы топлива к массе конструкции ракеты.  

• Ракета массой 1 тонна стартует с наклонной пусковой установки под углом 45 градусов.  

• Ракета имеет крылья и оперение, что делает её воздушной.  

• Пусковая установка может вращаться и менять угол наклона.  

• Ракета выбирается с помощью радиотехнических средств.  

• Радиолокатор показывает направление и угол выстрела.  

• Ракета корректирует свой полет с помощью радиолокатора.  

• В момент старта ракеты над ней пролетал вражеский самолет с Михаилом Саакашвили.  

• Самолет летел на высоте 10 км со скоростью 900 км/ч.  

• Необходимо найти угол истечения газов из ракеты.  

• Ракета должна двигаться по прямой, чтобы попасть в самолет.  

• Самолет не видит ракету, которая невидима.  

• Ракета стартует, когда самолет находится над пусковой установкой.  

• Самолет движется со скоростью 900 км/ч, ракета должна двигаться по прямой.  

• Ускорение ракеты определяется кинематикой.  

• Уравнения движения ракеты включают вес и ускорение.  

• Угол истечения газов определяется через тангенс угла.  

• Задача оказывается простой, но требует расчетов.  

• Интегрирование уравнений позволяет найти массу ракеты.  

• Расход топлива определяется через дифференцирование.  

• Ускорение и масса ракеты рассчитываются для проверки.  

• Логарифм м ноль делится на м ноль минус дельта м.  

• Интеграл от нуля до т dt делится на р плюс вт в квадрате.  

• Интеграл известен и равен минус единица на р плюс вт.  

• Минус гамма-м делится на ув.  

• Единица на р плюс вт большое минус единица на р.  

• Гамма-мт в сокращается, у р радиус земли.  

• Логарифм преобразуется в экспоненту.  

• Единица минус дельта м к ноль.  

• Экспонента минус жт делится на у р плюс вт большое.  

• Окончательное выражение: дельта м к м равно единица минус экспонента минус жт поделить на у р плюс вт.  

• Подсчет чисел показывает, что дельта м к м равен единица минус е в минус второй степени.  

• Ответ: 86% уменьшение массы ракеты, движущейся с постоянной скоростью в поле тяжести Земли в течение десяти минут.