Тригонометрические функции их свойства и графики (sinх, cosх)

• Тема урока: тригонометрические функции, их свойства и графики.  

• Цитата Михаила Васильевича Ломоносова о науке.  

• Построение координатной плоскости.  

• Единичный отрезок на оси y — 1 см, на оси x — 3 клетки.  

• Объяснение выбора 3 клеток для π/2.  

• Область определения: от −∞ до +∞.  

• Область значений: от −1 до 1.  

• Периодичность: 2π.  

• Функция нечётная, симметрия относительно начала координат.  

• Нули функции: πn, где n — множество целых чисел.  

• Наибольшее значение: 1, при x = π/2 + 2πn.  

• Наименьшее значение: −1, при x = −π/2 + 2πn.  

• Возрастание: от −π/2 + 2πn до π/2 + 2πn.  

• Убывание: от π/2 + 2πn до 3π/2 + 2πn.  

• Промежутки знака постоянства: y > 0 от 0 до π, y < 0 от π до 2π.  

• Построение координатной плоскости для y = cos x.  

• Значения косинуса: 0, 1, −1, 0.  

• Периодичность косинусоиды: 2π.  

• Область определения и область значений аналогичны синусоиде.  

• Функция чётная, симметрия относительно осей y.  

• Нули: π/2 + πn, −π/2, π/2, 3π/2.  

• Наибольшее значение: 1, при 0 + 2πn.  

• Наименьшее значение: −1, при π + 2πn.  

• Возрастание: от −π + 2πn до 0 + 2πn.  

• Убывание: от 0 + 2πn до π + 2πn.  

• Промежутки знака постоянства: y > 0 от −π/2 до π/2, y < 0 от π/2 до 3π/2.  

• Синусоида выходит из начала координат и повторяет значения 0, 1, 0, −1.  

• Косинусоида выходит из точки 0, 1 и повторяет значения 0, −1, 0, 1.  

• Параллельный перенос по осям y и x.  

• Растяжение и сжатие вдоль осей y и x.  

• Симметрия относительно оси абсцисс.  

• Пример построения графика сложной функции.  

• Пример: y = sin x + 2.  

• Поднятие графика на 2 единицы вверх.  

• Пример: y = sin x - 3.  

• Опускание графика на 3 единицы вниз.  

• Пример: y = sin x - π/3.  

• Сдвиг графика вправо на 2 клетки.  

• Пример: y = sin x + π/2.  

• Сдвиг графика влево на 3 клетки.  

• Пример: y = 1/2 sin x.  

• Сжатие графика в два раза.  

• Пример: y = 3 sin x.  

• Растяжение графика в три раза.  

• Рассматривается растяжение и сжатие графика функции y = sin x при добавлении коэффициента k перед переменной x.  

• Пример: график функции y = sin 2x сжимается в два раза, период уменьшается с 2π до π.  

• Пример: график функции y = x/3 растягивается в три раза, период увеличивается с 2π до 6π.  

• Шаги графика увеличиваются с 3 клеток до 9 клеток.  

• Если коэффициент перед x больше 1, происходит сжатие графика.  

• Если коэффициент меньше 1, но больше 0, происходит растяжение графика.  

• Для построения графика функции y = -f(x) используется симметрия относительно оси X.  

• Пример: график функции y = cos x зеркально отражается относительно оси X для получения графика функции y = -cos x.  

• Построение графика функции y = 3sin x - π/2 + 5.  

• Растяжение графика в три раза вдоль оси Y.  

• Сдвиг графика вправо на π/2, что соответствует трём клеткам.  

• Подъём графика вверх на 5 единиц.  

• Преподаватель просит учеников выбрать вариант, соответствующий их ощущениям после урока.  

• Завершение урока словами Ломоносова о важности опыта.  

• Благодарность за внимание.