ТФКП Львовский С.М. Лекция 02.02.24

• Определение аналитической функции.  

• Функция называется аналитической, если она определена на открытом множестве и в окрестности любой точки представляется в виде степенного ряда.  

• Аналогичное определение можно дать для функций вещественного переменного и других локально компактных полей.  

• Аналитичность и голоморфность функций на открытом множестве равносильны.  

• Доказательство: если функция аналитична, то она голоморфна, и наоборот.  

• Использование формулы Коши для доказательства.  

• Равномерная сходимость ряда на компактах.  

• Применение формулы Коши для разложения интеграла в ряд.  

• Равномерная сходимость ряда на окружности.  

• Разложение интеграла в ряд равномерно сходящийся на окружности.  

• Применение теоремы Коши для производных.  

• Равномерная сходимость ряда и его дифференцируемость.  

• Введение в принцип аналитического продолжения.  

• Если функция аналитична и равна нулю в точке, то она равна нулю в некоторой окрестности этой точки или существует проколотая окрестность, где функция не равна нулю.  

• Отличие аналитических функций от гладких функций.  

• Определение аналитичности функции: ф от зет равняется ц ноль плюс один назад минус а плюс ту- ту- ту плюс цн зет минуса ванной плюс многоточие.  

• Если все коэффициенты равны нулю, то ф от зет равняется нулю.  

• Если хотя бы один коэффициент не равен нулю, то ф от зет не равна нулю в некоторой окрестности.  

• Порядок функции ф в точке а равен минимальному к, для которого цк не равно нулю.  

• Если ф от а не равно нулю, то порядок равен нулю.  

• Если ф от а равно нулю в окрестности а, то порядок плюс бесконечность.  

• Порядок в точке а фж равняется порядок а плюс порядок ж.  

• Локальная теорема единственности: либо нуль изолированный, либо вместе с целой окрестностью.  

• Пусть у в ц открыто и связано, ф из уфц аналитическая функция.  

• Если ф на подмножестве с в у тождественно равна нулю, то она тождественно равна нулю на всем у.  

• Множество точек а из у, таких что ф а равняется нулю, не пусто, замкнуто и открыто.  

• Если у связано, то множество точек, где ф равна нулю, либо пусто, либо все у.  

• Если ф и ж в ц аналитические функции, и существует подмножество с в у, имеющее предельную точку в у, что ф и ж совпадают, то ф совпадает с ж.  

• Утверждение глобальной теоремы верно только для функций одной переменной.  

• Для функций нескольких переменных утверждение глобальной теоремы неверно.  

• Пример: функция ф от зет до бульва равняется за минус до бульва ж, которая является аналитической, но не удовлетворяет глобальной теореме.  

• Рассматриваются голоморфные функции на множестве, открытом и не пустом.  

• Обсуждается, что для функций с несколькими переменными требуется не дискретность, а наличие непустой внутренности.  

• Приводится пример с разложением в степенной ряд, где для функций с одной переменной можно вынести минус в степени n, а для функций с несколькими переменными это невозможно.  

• Сфера Римана рассматривается как топологическое пространство, объединенное с бесконечностью.  

• Обсуждается, как определить топологию на множестве с бесконечностью.  

• Приводится пример проекции сферы на плоскость, где точки на сфере ближе к бесконечности соответствуют точкам на плоскости, удаленным от нуля.  

• Сфера Римана рассматривается как одномерное комплексное многообразие.  

• Обсуждаются координатные окрестности и локальные карты.  

• Подчеркивается, что функция голоморфна на всей сфере, если она голоморфна в окрестности бесконечности.  

• Рассматриваются примеры функций, голоморфных в окрестности бесконечности.  

• Обсуждается, что функция f z = z^2 + 1 не голоморфна в окрестности бесконечности, так как предел при z стремящемся к бесконечности не существует.  

• Приводится пример функции f z = z^2 + 1/z^2 - 1, которая голоморфна в окрестности нуля.  

• Подчеркивается, что в курсе не будет серьезного исследования комплексных многообразий.  

• Однако, сфера Римана будет использоваться для изучения поведения функций в окрестности бесконечности.  

• Вопросы о поведении функций в проколотых окрестностях точек будут рассмотрены во вторник.