Задачи с параметрами. Задание №18 в ЕГЭ. Алгебраический и аналитический методы решения

• Лекция посвящена задаче с параметрами из профильного ЕГЭ по математике.  

• Для изучения темы требуется 15-20 часов, но сегодня будет полтора часа.  

• Основные методы решения: алгебраический, функциональный, графический и геометрический.  

• Процент решаемости задач с параметрами составляет около 1%.  

• Задачи с параметрами решаются теми, кто хорошо владеет школьной математикой.  

• На решение задачи отводится 35 минут, что достаточно для подготовленного школьника.  

• Иван Валерьевич Ященко считает, что для решения задач с параметрами нужно уверенно решать задачи без параметров.  

• Задачи часто распадаются на два случая, которые решаются аналитическими или графическими методами.  

• За правильное решение одного случая можно получить один балл, за оба случая – два балла.  

• Алгебраический метод предполагает решение уравнений и неравенств без использования графиков.  

• Важно следить за равносильными переходами и областью допустимых значений.  

• Аналитический метод включает использование свойств функций: область определения, монотонность, четность и периодичность.  

• Большинство задач с параметрами сводятся к исследованию линейных или квадратных уравнений.  

• Важно знать и уметь решать соответствующие задачи из спецификации и кодификатора ЕГЭ.  

• Примеры задач включают уравнения, неравенства и системы неравенств.  

• Рассматривается квадратичная функция и квадратное уравнение с коэффициентами, зависящими от параметра.  

• Существует около пятнадцати различных случаев расположения корней на числовой прямой.  

• Вопросы сводятся к системе линейных неравенств, что позволяет избежать иррациональных неравенств.  

• Уравнение имеет решение, если дискриминант больше или равен нулю.  

• Сумма корней равна минус b/a, а произведение корней равно c/a.  

• Теорема Виета позволяет определить знаки корней и отношение коэффициентов.  

• Теорема Виета работает и для комплексных корней.  

• На ЕГЭ рассматриваются только действительные корни.  

• Использование графика помогает определить знаки корней и расположение корней относительно фиксированного числа.  

• Задачи с параметром часто сводятся к решению квадратного или линейного уравнения.  

• В задачах ЕГЭ редко ставится вопрос о нахождении решения уравнения, чаще определяется количество решений или их условия.  

• Решение задач с параметром часто требует алгебраических методов, а не графического подхода.  

• Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю, а другой имеет смысл.  

• Рассматриваются два случая: икс квадрат минус два икс минус один равно нулю и икс квадрат плюс два икс плюс один плюс два корня из а минус икс равно нулю.  

• В первом случае икс равен минус единица минус корень из двух, а во втором икс равен минус единица.  

• Рекомендуется рисовать числовую прямую для параметра, чтобы визуализировать результаты.  

• В данном случае при а больше единицы минус корень из двух икс равен минус единица минус корень из двух.  

• При а равном минус единице икс равен минус единица.  

• Найти значения параметра а, при которых уравнение имеет единственное решение.  

• Замена: т равно шесть в степени икс.  

• Уравнение т квадрат минус восемь а плюс пять т плюс шестнадцать а квадрат плюс двадцать а минус четырнадцать равно нулю.  

• Задача должна быть переформулирована: найти значения параметра а, при которых уравнение имеет единственный положительный корень.  

• Важно учитывать, что уравнение должно иметь единственный положительный корень, а не просто единственное решение.  

• Рассматриваются три случая: корни разного знака, корни одного знака, и корень равен нулю.  

• В первом случае а принадлежит промежутку от минус семь четвертых до одной второй.  

• Во втором случае а равно одной второй.  

• В третьем случае дискриминант не равен нулю, что делает этот случай невозможным.  

• Объединение двух ответов: а принадлежит от минус семь четвертых до одной второй включительно.  

• Распространенная ошибка: сведение к дискриминанту, равному нулю.  

• В 2013 году была массовая утечка материалов экзамена.  

• Решение задачи с параметром было выложено в 10 вечера.  

• Большинство школьников воспользовались этим решением, что снизило процент решаемости.  

• Требуется определить значение параметра, при котором уравнение имеет ровно три различных корня.  

• Важно знать равносильные переходы и схему решения иррациональных уравнений.  

• Возведение в квадрат возможно, если обе части не отрицательны.  

• Неравенство эф от икс больше либо равно нуля не имеет смысла.  

• Исходное уравнение сводится к неравенству икс квадрат плюс а икс плюс три больше либо равно нулю.  

• Корни уравнения: икс первый равен нулю, икс второй равен а плюс три, икс третий равен а минус три.  

• Корни не совпадают при а равном трем и минус трем.  

• Проверка каждого корня на выполнение неравенства.  

• Корни: икс ноль всегда является корнем, икс два минус а минус три является корнем.  

• При а равном трем корни икс один и икс два совпадают.  

• Ответ: три корня при а принадлежит от минус четыре до минус трех, от минус трех до трех, от трех до четырех.  

• Задача с одним корнем на отрезке от нуля до единицы.  

• Произведение двух выражений равно нулю, когда один из множителей равен нулю.  

• Решение сводится к совокупности двух систем: первый множитель равен нулю и второй множитель больше либо равен нулю, и второй случай: логарифм равен нулю и второй множитель больше либо равен нулю.  

• Приведение системы к виду, где икс квадрат минус два икс плюс два минус а квадрат равно единице.  

• Проверка условия, что система имеет единственный корень на отрезке ноль-один.  

• Решение первой системы: икс равно одна четвертая.  

• Преобразование уравнения к виду икс квадрат минус два икс плюс один полный квадрат.  

• Получение двух корней: икс равно а плюс один и икс равно минус а плюс один.  

• Проверка условий для каждого корня: икс плюс один больше либо равно минус три четвертых и икс минус а плюс один меньше либо равно три четвертых.  

• Проверка, когда корни лежат на отрезке ноль-один.  

• Определение случаев, когда корни совпадают.  

• Получение ответа: а принадлежит интервалу от минус пять четвертых до минус три четвертых и от нуля до трех четвертых.  

• Введение в функциональный метод, который можно рассматривать как самостоятельный аналитический метод.  

• Пример задачи: уравнение с параметром, имеющее хотя бы один корень.  

• Замена переменной и рассмотрение свойств функции на отрезке.  

• Замена переменной: т равно четыре икс минус икс квадрат.  

• Исследование свойств функции на отрезке от нуля до двух.  

• Определение множества значений функции и получение условия для существования корня.  

• Пример с разными функциями, который вызывает трудности у школьников.  

• Объяснение, что можно сказать о функциях корень кубический из т и т в квадрате минус тридцать т.  

• Функция определена на всей числовой прямой и является возрастающей.  

• Логарифм по основанию два от три икс минус один определен при икс больше одной третьей.  

• Сумма первой и второй функций дает возрастающую функцию на всей области определения.  

• Область определения определяется логарифмом.  

• Перенос двух а направо дает эф от икс равно а.  

• Рассматривается множество значений функции на отрезке один-три и проверяется, чтобы минус два а попадало в это множество.  

• В следующий раз, 6 апреля, будут рассмотрены графические методы решения.  

• Благодарность за внимание.