Предел суммы, произведения, частного(+доказательство). Билет 7

• Введение в тему: теоремы о сумме, произведении и композиции функций.  

• Теорема о пределе суммы: предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций при условии их существования.  

• Доказательство: использование теоремы о необходимом и достаточном условии существования предела.  

• Теорема о пределе произведения: предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций при условии их существования.  

• Доказательство: аналогично доказательству теоремы о пределе суммы.  

• Теорема о пределе отношения: предел отношения двух функций равен отношению их пределов при условии их существования и при условии, что предел знаменателя не равен нулю.  

• Лемма о сохранении знака функции: если существует предел функции, то знак функции совпадает со знаком предела в окрестности точки.  

• Доказательство леммы: использование определения предела и модуля.  

• Лемма о пределе частного: если существует предел функции, то предел частного равен отношению пределов.  

• Доказательство леммы: представление функции в виде предела и бесконечно малой функции, использование теоремы о необходимом и достаточном условии существования предела и леммы о сохранении знака функции.  

• Модуль функции f от x лежит между модулем b и 3/2 модуля b.  

• Разделяем конструкцию на 1/f от x и умножаем на модуль b.  

• Получаем ограниченную функцию, что доказывает теорему.  

• Предел отношения равен отношению пределов при условии их существования.  

• Если существуют пределы функций f от x и g от x, то существует предел f от x/g от x.  

• Предел равен отношению пределов в точке x0.  

• f от x существует в окрестности точки x0 по лемме 1.  

• Предел функции 1/g от x в точке x0 можно представить как 1/b.  

• Предел произведения функций f от x и 1/g от x равен произведению пределов.  

• Теорема о пределе композиции будет доказана позже.