Лекция 07. Обратная матрица

• Определение матричных единиц и их умножение.  

• Использование символов Кронекера.  

• Условия эквивалентности для матриц.  

• Матрица а коммутирует со всеми матрицами, если она скалярна.  

• Матрица а коммутирует с матричными единицами, если она скалярна.  

• Коммутация с матричными единицами эквивалентна коммутации со всеми матрицами.  

• Единичная матрица имеет единицы на диагонали и нули вне её.  

• Умножение любой матрицы на единичную матрицу не изменяет её.  

• Единичная матрица является аналогом числа 1.  

• Три типа элементарных преобразований: сложение строк, перестановка строк, умножение строки на число.  

• Применение элементарных преобразований к единичной матрице.  

• Умножение матриц на элементарные матрицы для реализации преобразований.  

• След матрицы - это сумма её диагональных элементов.  

• След матрицы обозначается как tr a.  

• След суммы матриц равен сумме следов слагаемых.  

• След матрицы не меняется при умножении на число.  

• След произведения матриц не равен произведению следов.  

• След произведения матриц равен сумме диагональных элементов.  

• След матрицы не меняется при перестановке матриц.  

• Обратная матрица существует, если произведение матриц равно единичной матрице.  

• Обратная матрица позволяет вернуть исходное состояние после преобразования.  

• Не все матрицы обратимы, но если обратимы, то деление можно заменить умножением на обратную матрицу.  

• Обратная матрица к матрице существует и уникальна.  

• Доказательство от противного: если две матрицы являются обратными к одной и той же матрице, то они равны.  

• Нулевая матрица не имеет обратной.  

• Матрица, состоящая только из единиц, не имеет обратной.  

• Противоречие: произведение строк и столбцов должно равняться единице и нулю одновременно, что невозможно.  

• Элементарные матрицы обратимы.  

• Матрица, переставляющая две строки, имеет обратную, равную исходной.  

• Матрица с ненулевым диагональным элементом имеет обратную, равную матрице с обратным значением на диагонали.  

• Если произведение матриц равно единичной матрице, то обратная матрица также равна исходной.  

• Это утверждение не очевидно и требует дополнительного рассмотрения.  

• Если матрицы A и B существуют, то существует и обратное к их произведению.  

• Обратное к произведению равно произведению обратных матриц в обратном порядке.  

• Доказательство: проверка, что произведение матриц равно единичной матрице.  

• Алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.  

• Можно использовать систему линейных уравнений, но это долго.  

• Алгоритм приводит матрицу к единичному виду, что позволяет найти обратную матрицу.  

• Если матрицу удалось привести к единичному виду, то существует набор элементарных матриц для преобразования.  

• Преобразования строк матрицы A автоматически применяются к правой части.  

• Если матрица приведена к единичному виду, то обратная матрица находится автоматически.  

• Применение элементарных преобразований к матрице приводит к единичной матрице.  

• Матрица умножается слева на элементарные матрицы, что приводит к единичной матрице.  

• Это доказывает, что матрица обратима и имеет обратную.  

• Матрица после преобразований равна произведению элементарных матриц.  

• Обратная матрица существует и равна произведению обратных элементарных матриц.  

• Это доказывает, что матрица обратима и имеет обратную.  

• Матрица приводится к ступенчатому виду элементарными преобразованиями.  

• Если матрица не строго ступенчата, то она не может быть приведена к единичной матрице.  

• Наличие нулевой строки в ступенчатом виде означает, что обратная матрица не существует.  

• Матрица называется не вырожденной, если ее ранг равен числу строк или столбцов.  

• Матрица обратима тогда и только тогда, когда она не вырождена.  

• Ранг матрицы равен числу не нулевых строк в ступенчатом виде.  

• Если матрица обратима, то система линейных уравнений решается легко.  

• Решение системы находится путем умножения обратной матрицы на столбец свободных членов.  

• Обратная матрица помогает найти решение системы, но это эквивалентно по сложности.  

• Ранг произведения матриц меньше или равен минимуму рангов сомножителей.  

• Если хотя бы одна из матриц вырождена, то и произведение вырождено.  

• Доказательство теоремы включает выписывание правил умножения матриц и анализ столбцов произведения.  

• Столбцы матрицы A и B являются линейными комбинациями столбцов матрицы A.  

• Линейная оболочка столбцов A содержится в линейной оболочке столбцов B.  

• Ранг AB меньше или равен рангу A.  

• Ранг матрицы равен размерности линейной оболочки её столбцов.  

• Если одно подпространство содержится в другом, то размерность вложенного подпространства меньше или равна размерности объемлющего.  

• Доказательство: ранг AB меньше или равен рангу A и рангу B.  

• Перемножение матриц по строкам: первая строка произведения является линейной комбинацией строк второй матрицы.  

• Линейная оболочка строк произведения лежит в линейной оболочке строк второй матрицы.  

• Ранг AB меньше или равен рангу B.  

• Задача: доказать, что ранг суммы матриц меньше или равен сумме рангов.  

• Пример: приведите примеры, показывающие, что в теореме 11 могут быть равенства и строгие неравенства.  

• Обсуждение важности понимания теорем и рангов матриц.  

• Переход к теме определителей, которая будет важной и сложной.  

• Для определения определителя потребуются перестановки, которые будут изучаться в пятом параграфе.  

• Перестановки важны для понимания определителей и будут изучаться в третьем семестре.  

• Основное правило комбинаторики помогает определить количество способов выполнения действий.  

• Пример: сколько способов доехать из города А в город С, если есть дороги из АВ и ВС?  

• Правило: число способов равно произведению числа дорог из АВ на число дорог из ВС.  

• Основное правило комбинаторики применимо только при независимых событиях.  

• Пример: выбор дороги из АВ не влияет на выбор дороги из ВС.  

• Если события зависимы, число способов будет меньше.  

• Сколько способов выстроить очередь из N студентов?  

• Неправильное решение: выбор первого студента влияет на выбор второго.  

• Правильное решение: число исходов равно N факториалу.  

• Перестановка — это взаимно однозначное соответствие на множестве натуральных чисел.  

• Запись перестановки: верхняя строка — правильный порядок, нижняя строка — произвольный порядок.  

• Множество перестановок длины N состоит из N факториала элементов.  

• Композиция подстановок — это произведение подстановок одной длины.  

• Пример: композиция подстановок длины 4.  

• Композиция выполняется справа налево, что объясняется психологическими причинами.  

• Перемножаем подстановки в другом порядке.  

• Пример: 1234, 2431.  

• Умножение подстановок не коммутативно.  

• Один переходит в три, три переходит в три.  

• Разные результаты при умножении.  

• Умножение подстановок не обладает свойством коммутативности.  

• Обозначается как "эпсион".  

• Тождественная подстановка оставляет все элементы на месте.  

• Обладает свойством единицы: сигма умножить на эпсион равно эпсион умножить на сигму.  

• Умножение подстановок ассоциативно.  

• Для любых подстановок сигма, тау и кси, сигма тау умножить на кси равно сигма умножить на тау умножить на кси.  

• Доказательство ассоциативности аналогично доказательству для матриц.  

• Проверка действия подстановок на элемент и.  

• Применение подстановок в определенном порядке.  

• Левая и правая части действуют одинаково на элемент и, что подтверждает ассоциативность.