20.1 Эквивалентность определений по Коши и по Гейне

• Доказательство эквивалентности определений предела функции по Гейне и Коши.  

• Число a является пределом функции y = f(x) в точке a, если для любой последовательности x_n, сходящейся к a, последовательность значений функции f(x_n) сходится к a.  

• Число a является пределом функции в точке a, если для всех значений аргумента в дельта-окрестности точки a соответствующие значения функции попадают в эпсилон-окрестность числа a.  

• Теорема: определения предела функции по Гейне и Коши эквивалентны.  

• Доказательство для конечных чисел a и a.  

• Пусть a не является пределом по Коши.  

• Найдётся положительное число ε_0 такое, что для всех δ > 0 найдётся x_* ≠ a, для которого |f(x_*) - a| ≥ ε_0.  

• Берём последовательность δ_n, стремящуюся к нулю.  

• Для каждого δ_n найдётся x_n такое, что |x_n - a| < δ_n, но |f(x_n) - a| ≥ ε_0.  

• Последовательность x_n сходится к a, но последовательность f(x_n) не сходится к a.  

• Получено противоречие, что доказывает эквивалентность определений.  

• Если a является пределом по Коши, то оно является пределом по Гейне.  

• Для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x ∈ [a - δ, a + δ] выполняется |f(x) - a| < ε.  

• Берём последовательность x_n, сходящуюся к a.  

• Подбираем δ > 0 так, чтобы для всех n > N выполнялось |x_n - a| < δ.  

• По определению Коши, |f(x_n) - a| < ε, что доказывает сходимость последовательности значений функции к a.  

• Доказана эквивалентность определений предела функции.  

• Завершение доказательства.