20.1 Эквивалентность определений по Коши и по Гейне

• Доказательство эквивалентности определений предела функции по Гейне и Коши.  

• Вспоминание определений предела функции по Гейне и Коши.  

• Число a называется пределом функции y = f x в точке a, если для любой последовательности допустимых значений аргумента x n, сходящейся к a, соответствующая последовательность значений функции сходится к a.  

• Геометрическая интерпретация этого определения.  

• Число a называется пределом функции y = f x в точке a, если для всех значений аргумента, попадающих в дельта-окрестность точки a, соответствующие значения функции попадают в эпсилон-окрестность числа a.  

• Геометрический смысл этого определения.  

• Теорема: определения предела функции по Гейне и Коши эквивалентны.  

• Доказательство для случая конечных чисел a и b.  

• Пусть число a не является пределом функции по второму определению.  

• Построение отрицания для определения Коши.  

• Построение последовательности положительных чисел дельта n, стремящихся к нулю.  

• Последовательность значений аргумента x n штрих, сходящаяся к точке a.  

• Последовательность значений функции f x n штрих не может сходиться к a.  

• Противоречие доказывает, что число a является пределом функции по второму определению.  

• Если число a является пределом функции по второму определению, то оно является пределом по первому определению.  

• Последовательность значений аргумента x n, сходящаяся к a, и соответствующая последовательность значений функции f x n сходятся к a.  

• Доказательство, что из определения второго следует определение первого.  

• Завершение доказательства и анонс следующего занятия.