Теория вероятностей, 9 лекция (неравенства Маркова и Чебышева), Райгородский А.М., 27.10.2022

• Приветствие и проверка готовности аудитории.  

• Объявление темы лекции: неравенства в теории вероятностей и их применение.  

• Пример задачи: вероятность отсутствия треугольников в случайном графе.  

• Определение: случайная величина принимает только неотрицательные значения.  

• Вероятность того, что случайная величина больше или равна определенному значению, не превосходит математического ожидания, деленного на это значение.  

• Доказательство для конечных значений случайной величины.  

• Введение обозначений для значений случайной величины.  

• Разделение суммы на две части: значения больше или равны а и значения меньше а.  

• Оценка суммы значений меньше а нулем и доказательство неравенства.  

• Определение: вероятность того, что модуль разности случайной величины и её математического ожидания больше или равен определенному значению, не превосходит дисперсии, деленной на это значение в квадрате.  

• Доказательство через неравенство Маркова.  

• Применение неравенства Чебышева для доказательства наличия объектов в случайном графе.  

• Неравенство Маркова используется для доказательства отсутствия объектов.  

• Неравенство Чебышева используется для доказательства наличия объектов.  

• Пример применения неравенств в задаче о случайном графе.  

• Обсуждение оценки вероятностей отсутствия или наличия объектов в задачах.  

• Пример с случайным графом и треугольниками.  

• Определение случайного графа и его модели.  

• Вероятность ребра случайного графа быстро убывает с ростом числа вершин.  

• Вероятность наличия хотя бы одного треугольника в случайном графе стремится к нулю при увеличении числа вершин.  

• Интуитивное объяснение: чем меньше вероятность каждого ребра, тем меньше вероятность образования треугольников.  

• Введение обозначения количества треугольников в случайном графе.  

• Напоминание о расчете математического ожидания числа треугольников.  

• Представление количества треугольников как суммы индикаторов.  

• Объяснение, что такое индикатор и его значение.  

• Перечисление всех возможных троек вершин и тестирование их на образование треугольника.  

• Расчет вероятности образования треугольника для каждой тройки.  

• Объяснение линейности математического ожидания для зависимых величин.  

• Пример расчета вероятности для конкретной тройки вершин.  

• Объяснение, что количество треугольников не меньше единицы означает наличие хотя бы одного треугольника.  

• Использование неравенства Маркова для оценки вероятности наличия хотя бы одного треугольника.  

• Разделение произведения на н в кубе на шесть приводит к пределу, равному единице.  

• Это называется асимптотическим равенством.  

• Вероятность отсутствия треугольников в случайном графе стремится к нулю.  

• Если нп стремится к бесконечности, вероятность наличия треугольников стремится к единице.  

• Это явление называется фазовым переходом.  

• Математическое ожидание числа треугольников стремится к бесконечности, но это не гарантирует их наличие.  

• Вероятность наличия треугольников можно оценить через неравенство Чебышева.  

• Неравенство Чебышева позволяет оценить вероятность через математическое ожидание и дисперсию.  

• Важно убедиться, что дисперсия стремится к нулю, чтобы доказать теорему.  

• Дисперсия кси равна мат ожиданию кси в квадрате минус квадрат мат ожидания.  

• Для расчета дисперсии нужно сложить попарные произведения индикаторов.  

• Важно учитывать, что кси принимает значения только 0 или 1.  

• Рассматриваются две тройки вершин: итая и житая.  

• Вероятность пересечения троек равна пэф шестой.  

• Если тройки не пересекаются или имеют одну общую вершину, корреляции нет.  

• Если тройки имеют общее ребро, вероятность равна пэф пятой.  

• Для пары троек корреляция отсутствует, но для одной тройки корреляция есть.  

• Для расчета суммы нужно вычислить количество пар троек.  

• Количество пар троек с номерами и ежи, устроенных первым и вторым способами, умножается на п шестой.  

• Количество пар троек с общим ребром умножается на п пятый.  

• Подсчет количества пар троек включает фиксацию общей вершины и выбор двух общих вершин.  

• Вычисление дисперсии и математического ожидания.  

• Деление дисперсии на квадрат математического ожидания для проверки стремления к нулю.  

• Важно, чтобы математическое ожидание стремилось к бесконечности.  

• Переписывание выражений для упрощения.  

• Сокращение выражений и проверка стремления к нулю.  

• Все выражения стремятся к нулю, что подтверждает правильность расчетов.  

• Слагаемое, стремящееся к нулю, и одно слагаемое, стремящееся к единице, приводят к сумме, стремящейся к нулю.  

• Это доказывает теорему и иллюстрирует закон больших чисел.  

• Закон больших чисел будет доказан как следствие из неравенства Чебышева.  

• Закон больших чисел помогает понять вероятность отсутствия треугольника.  

• Линейность математического ожидания упрощает расчеты.  

• Закон больших чисел в форме Чебышева будет доказан.  

• Закон больших чисел применим к бесконечной последовательности случайных величин.  

• Величины должны быть попарно некоррелированными и одинаково распределенными.  

• Дисперсия любой из величин должна быть конечной.  

• Вероятность отклонения среднего арифметического от математического ожидания стремится к нулю при увеличении числа наблюдений.  

• Это утверждение важно для будущей статистики.  

• Среднее арифметическое случайных величин близко к их математическому ожиданию.  

• Обозначим среднее арифметическое как с индексом n.  

• Вероятность отклонения от математического ожидания не больше, чем эпсилон, равна дисперсии, деленной на эпсилон в квадрате.  

• Дисперсия суммы равна сумме дисперсий, что приводит к константе, стремящейся к нулю при увеличении n.  

• Закон больших чисел можно распространить на случайные величины с разными распределениями, если их дисперсии ограничены одной и той же константой.  

• В будущем будут рассмотрены другие законы больших чисел.  

• Преподаватель надеется вернуться к законам больших чисел в будущем.