ОКТЧ 6. Плотный порядок. Предпорядки. Решётки

• Сегодня последняя лекция по теории порядка, на которой будут доказаны теорема о плотном порядке и рассмотрены предпорядки.  

• Теорема утверждает, что на счетных множествах существует ограниченное количество способов плотно упорядочить их.  

• Примеры: рациональные числа, десятичные дроби, алгебраические числа.  

• Алгебраические числа - корни многочленов с целыми коэффициентами, включая квадратичные иррациональности, кубические и т.д.  

• Множество алгебраических чисел счетное, так как многочленов счетное число.  

• Доказательство теоремы об изоморфизме для счетных множеств, обладающих определенными свойствами.  

• Для континуальных множеств теорема неверна, так как могут быть выколотые точки и нарушена плотность.  

• Обсуждение предпорядков и их свойств, включая наличие наименьших и наибольших элементов.  

• Если наличие наименьших и наибольших элементов одинаковое, то получается изоморфизм.  

• Предпорядки - это отношения, которые ловят ситуации, когда объекты сравниваются по какому-то параметру, но время одинаковое.  

• Предпорядки используются в теории потребителя, где потребители имеют рациональные предпочтения.  

• Структурная теорема утверждает, что отношение безразличия является отношением эквивалентности для любого отношения предпорядка.  

• Это означает, что если два объекта эквивалентны, то они сравнимы по предпорядку.  

• Любая разбивка на группы, задающая порядок на группах, задает предпорядок на элементах всех групп.  

• Это позволяет характеризовать любой предпорядок через разбиение на группы.  

• Теорема об агрегировании утверждает, что невозможно агрегировать предпочтения так, чтобы выполнялись некоторые свойства.  

• Однако существуют стандартные способы агрегирования, такие как агрегирование по большинству и агрегирование консенсусом.  

• Агрегирование по большинству позволяет получить любое отношение, не только предпорядок, но и все что угодно.  

• Агрегирование консенсусом дает порядок, если исходные предпорядки были порядками.  

• Теория решеток - важная теория, которая будет обсуждаться в курсе.  

• В рамках теории решеток рассматриваются решетки как упорядоченные множества.  

• Видео начинается с объяснения понятия решетки, которое является множеством, содержащим операции объединения, пересечения, наименьшего общего кратного и наименьшего общего делителя.  

• Автор приводит примеры этих операций и объясняет, что они могут быть похожими.  

• Решетка определяется как частично упорядоченное множество, в котором для любых элементов x и y есть верхняя и нижняя грани.  

• Если только одна из этих граней существует, то это будет полурешетка.  

• Автор приводит пример решетки, в которой есть супрем и инфимом для каждой пары элементов, а также для всего множества.  

• Решетка может быть рассмотрена как алгебраическая структура, где операции объединения, пересечения, наименьшего общего кратного и наименьшего общего делителя называются джойн, мид и инфимом соответственно.  

• Автор заканчивает видео, призывая зрителей изучить эту большую область математики и вернуться к логике.