Что такое уравнение Шредингера? Базовое введение в квантовую механику

• Уравнение Шредингера лежит в основе квантовой механики.  

• Видео представляет вводный обзор уравнения Шредингера.  

• Цель видео - подготовить зрителей к изучению квантовой механики.  

• Эрвин Шредингер родился в Вене в 1887 году.  

• Учился дома до 11 лет, затем поступил в гимназию.  

• В университете Вены Шредингер преуспевал в математике и физике.  

• В 1910 году получил докторскую степень и стал ассистентом профессора.  

• После Первой мировой войны переехал в Цюрих, Швейцария.  

• В 1925 году Шредингер совершил прорыв, который обеспечил ему место в пантеоне физики.  

• В октябре 1925 года он прочитал статью Эйнштейна о последних достижениях в атомной физике.  

• В сноске к статье Эйнштейна упоминалась диссертация Луи де Бройля.  

• Де Бройль предположил, что частицы могут вести себя как волны.  

• Он связал длину волны лямбда с импульсом частицы p и энергией e.  

• Эти соотношения связывали понятия энергии и импульса с волновыми понятиями частоты и длины волны.  

• Шредингер понял, что для теории де Бройля необходимо волновое уравнение.  

• Он решил найти недостающее уравнение и развить теорию де Бройля в полноценную теорию квантовой механики.  

• Шредингер начал с обзора свойств классических волн.  

• Волновая функция описывается косинусной функцией.  

• Волновое уравнение включает частные производные и описывает смещение волны.  

• Косинусная волновая функция является решением волнового уравнения.  

• Волновое уравнение гарантирует правильное соотношение между скоростью, частотой и длиной волны.  

• Это соотношение соответствует ожидаемому для бегущей волны.  

• Шредингер начал размышлять о том, как частицы могут вести себя как волны.  

• Если частицы ведут себя как волны, их волновые функции должны быть решениями волнового уравнения.  

• Шредингер предположил, что волна описывается поступательно движущейся волной.  

• Полная энергия частицы равна сумме кинетической и потенциальной энергий.  

• Кинетическая энергия равна половине mv^2, а потенциальная энергия - v от x t.  

• Уравнение должно быть линейным в волновой функции psi.  

• Линейность уравнения позволяет суммировать волновые функции для интерференции.  

• При постоянной потенциальной энергии решение должно быть синусоидальной бегущей волной.  

• Использование постулатов де Бройля-Эйнштейна для энергетического соотношения.  

• Введение угловой частоты омега и волнового числа k.  

• Дифференциальное уравнение должно содержать вторую производную по x и первую производную по времени.  

• Уравнение содержит смесь синусоидальных и косинусоидальных членов.  

• Введение более общей волновой функции с константой гамма.  

• Упрощение уравнения путем выбора значения гамма.  

• Определение гамма как мнимого числа i.  

• Уравнение удовлетворяет всем предположениям для свободной частицы.  

• Постулирование, что уравнение применимо к частицам с изменяющимся потенциалом.  

• Уравнение Шредингера описывает движение частицы под действием сил.  

• Волновая функция свободной частицы является сложной функцией, содержащей мнимое число i.  

• Комплексные числа могут быть записаны как z = a + ib, где a и b - действительные числа.  

• Комплексная волновая функция определяет две действительные функции: действительную и мнимую части.  

• Это противоречит классической волновой функции, которая является вещественной.  

• Комплексное число можно представить на графике, где y-ось - мнимая составляющая, а x-ось - действительная составляющая.  

• Угол тета и длина стрелки r позволяют вычислить a и b.  

• Подстановка этих выражений в z = a + ib дает комплексную волновую функцию.  

• Комплексное сопряжение меняет i на -i и обозначается звездочкой.  

• Квадрат модуля комплексного числа вычисляется как произведение комплексного числа на его комплексно сопряженное значение.  

• Модуль комплексного числа всегда действителен и неотрицателен.  

• Волновые функции являются комплексными, что не позволяет их физическое измерение.  

• Квадрат модуля волновой функции представляет вероятность нахождения частицы в определенном месте.  

• Вероятность определяется интегралом квадрата модуля волновой функции.  

• Плотность вероятности должна быть вещественным положительным числом.  

• Квадрат модуля волновой функции всегда действителен и неотрицателен.  

• Интерпретация Борна вносит неопределенность в квантовую механику, не позволяя точно предсказать результат измерения.  

• Уравнение Шредингера можно решить методом разделения переменных.  

• Волновая функция записывается как произведение функций от x и t.  

• Константа разделения k связывает пространственное и временное уравнения.  

• Временное уравнение имеет решение в виде экспоненциальной функции.  

• Решение проверяется и подтверждается, что приводит к сложному экспоненциальному выражению.  

• Константа k связана с частотой колебаний и энергией частицы.  

• Подставляем k = e в пространственное уравнение Шредингера.  

• Получаем уравнение, не зависящее от времени, называемое уравнением Шредингера.  

• Решения этого уравнения определяют пространственную зависимость волновой функции.  

• Волновая функция зависит от времени через коэффициент e - iet/h.  

• Рассматриваем частицу в одномерном прямоугольнике шириной a.  

• Волновая функция равна нулю вне прямоугольника, но свободна внутри.  

• Уравнение Шредингера упрощается до k^2/2m.  

• Общее решение уравнения имеет вид a sin kx + b.  

• Константы a и b определяются граничными условиями.  

• Волновая функция непрерывна на краях прямоугольника.  

• Определяем k как n*pi/a, где n - целое число.  

• Энергия частицы квантована и принимает дискретные значения.  

• Собственные функции определяются граничными условиями.  

• Волновая функция зависит от времени и энергии.  

• Вероятность нахождения частицы в коробке равна единице.  

• Вероятность нахождения частицы внутри коробки равна единице.  

• Определяем коэффициент a через интеграл.  

• Волновая функция нормируется для обеспечения единицы вероятности.  

• Волновая функция описывает стационарное состояние, где вероятность не меняется со временем.  

• Стационарное состояние имеет четко определенную энергию для каждого значения n.  

• График квадрата модуля волновой функции показывает, где с наибольшей вероятностью находится частица в коробке.  

• По мере увеличения n квантово-механическая плотность вероятности колеблется все больше.  

• В пределе бесконечного n колебания настолько сжаты, что частица имеет равную вероятность быть обнаруженной в любом месте.  

• Дискретность энергии исчезает, и энергия частицы кажется непрерывной.  

• После нормализации волновой функции можно рассчитать вероятность нахождения частицы в заданной области пространства.  

• Интегрирование квадрата модуля волновой функции позволяет определить вероятность нахождения частицы в любой области.  

• Результат измерения в квантовой механике является случайной величиной.  

• Введение теории вероятностей и обозначение для вероятности достижения определенного возраста.  

• Математическое ожидание и дисперсия как важные величины в квантовой механике.  

• Вероятность нахождения частицы в определенной области пространства равна интегралу от квадрата модуля волновой функции.  

• Математическое ожидание положения частицы определяется интегралом от квадрата модуля волновой функции.  

• Пример с частицей в основном состоянии бесконечного квадратичного потенциала ямы.  

• Вставляем результаты в интеграл, получаем выражение с двумя членами.  

• Первый член исчезает, остается второй.  

• Интегрируем, получаем математическое ожидание положения частицы, равное двойке.  

• Математическое ожидание положения постоянно и не зависит от времени.  

• Стационарные состояния обладают определенной энергией.  

• Пространственная форма волновой функции определяется уравнением Шредингера.  

• Гамильтонов оператор воздействует на собственную функцию, возвращая её умноженной на энергию.  

• Волновая функция с ярко выраженной энергией.  

• Математическое ожидание энергии равно собственному значению.  

• Стандартное отклонение энергии равно нулю, что означает определенную энергию.  

• Уравнение Шредингера описывает квантовомеханическую систему.  

• Потенциальная энергия не зависит от времени, используем разделение переменных.  

• Пространственное уравнение Шредингера описывает стационарные состояния.  

• Уравнение Шредингера линейно, любая линейная комбинация волновых функций является решением.  

• Линейная суперпозиция квантовых состояний - общее решение уравнения.  

• Коэффициенты c и n определяют общую волновую функцию.  

• Интеграл от квадрата модуля волновой функции должен быть равен единице.  

• Перекрестные слагаемые в интеграле равны нулю.  

• Ортогональность и нормализация объединяются в условие ортонормированности.  

• Использование соотношения ортогональности для устранения перекрестных членов.  

• Коэффициенты должны удовлетворять условию для нормализации.  

• Вычисление математических ожиданий энергии и энергии в квадрате.  

• Использование уравнений для собственных значений энергии и ортонормированного условия.  

• Вероятность измерения энергии определяется квадратом модуля коэффициента.  

• Сумма квадратов модулей коэффициентов должна быть равна единице.  

• Волновая функция описывает частицу с неопределенной энергией.  

• Вероятность измерения определенного значения энергии определяется квадратичным модулем коэффициента.  

• Пример линейной суперпозиции состояний в бесконечной квадратной яме.  

• Нормализация волновой функции для установления константы a.  

• Вычисление константы нормализации и возвращение её в исходное выражение.  

• Сопоставление с наиболее общим решением уравнения Шредингера.  

• Определение коэффициентов для суперпозиции собственных состояний.  

• Подстановка коэффициентов в общую волновую функцию.  

• Запись общей волновой функции в терминах собственных состояний энергии.  

• Вероятности нахождения частиц в каждом собственном состоянии энергии.  

• Неопределенность энергии из-за линейной комбинации состояний.  

• Вычисление энергетической неопределенности и её влияние на состояние частицы.  

• Плотность вероятности определяется квадратичным модулем волновой функции.  

• Влияние линейной комбинации состояний на плотность вероятности.  

• График плотности вероятности показывает колебания во времени.  

• Рассматривается математическое ожидание положения частицы в линейной суперпозиции.  

• Математическое ожидание колеблется вокруг центра коробки.  

• Частота колебаний связана с угловой частотой основного состояния.  

• Угловая частота выражается через разность энергий возбужденного и основного состояний.  

• Это уравнение аналогично расчету частоты испускаемого света в модели атома Бора.  

• Обсуждается глубокая связь между анализом и моделью атома Бора.  

• В основном состоянии атома водорода электрон распределен пропорционально плотности вероятности.  

• Распределение заряда электрона не зависит от времени.  

• Это объясняет стабильность атомов в классической электромагнетизме.  

• При переходе электрона между состояниями плотность вероятности и распределение заряда колеблются.  

• Это приводит к излучению с частотой, соответствующей разнице энергий состояний.  

• Основное состояние атома не может испускать излучение, так как нет состояний с более низкой энергией.  

• Волновое уравнение Шредингера правильно предсказывает энергетические уровни и частоты фотонов атома водорода.  

• Шредингер верил, что его теория дает физическую картину процесса испускания излучения.  

• Уравнение Шредингера стало основой современного понимания физики элементарных частиц.  

• Видео завершает обзор важных идей квантовой механики.  

• В следующем видео будет исследовано квантовое туннелирование и его влияние на звезды.  

• Цитата Шредингера о выражении мыслей через слова завершает видео.