Лекция 19. Идеал и факторкольца. Часть 1

• Идеал в кольце - это подгруппа по сложению и подмножество по умножению.  

• Левый идеал выдерживает умножение слева, правый - справа.  

• В коммутативных кольцах нет разницы между левыми и правыми идеалами.  

• В некоммутативных кольцах, таких как кольцо матриц, идеалы могут быть левыми или правыми.  

• Пример: идеал, состоящий из матриц с нулевыми столбцами, кроме первого, является левым идеалом.  

• Идеал совпадает со всем кольцом, если содержит обратимые элементы.  

• В поле нет нетривиальных идеалов, так как все элементы обратимы.  

• Идеал можно построить как линейную комбинацию элементов подмножества.  

• Идеал, порожденный подмножеством, является наименьшим идеалом, содержащим это подмножество.  

• Главный идеал порождается одним элементом и содержит все элементы, делящиеся на этот элемент.  

• Главный идеал обозначается круглыми скобками и включает все элементы, делящиеся на порождающий элемент.  

• Кольцо называется кольцом главных идеалов, если любой идеал главный.  

• Главный идеал порождается одним элементом.  

• Аналогия с циклической подгруппой в группах и нормальной подгруппой в кольцах.  

• Кольца Z и F[x] являются кольцами главных идеалов.  

• В Z идеал является подгруппой, а в F[x] идеал порождается многочленом наименьшей степени.  

• Доказательство, что любой идеал в F[x] порождается многочленом наименьшей степени.  

• В кольце многочленов от двух переменных идеал может не быть главным.  

• Пример идеала, порожденного двумя элементами x и y.  

• Доказательство, что идеал не является главным, так как не порождается одним многочленом.  

• Кольцо называется простым, если в нем нет нетривиальных идеалов.  

• Центр кольца — это элементы, которые коммутируют со всеми элементами кольца.  

• Центр кольца не является идеалом, в отличие от центра группы.  

• Алгебра называется центральной, если её центр минимально возможный.  

• Центр состоит только из скаляров, что делает алгебру центральной.  

• Теорема утверждает, что алгебра матриц размера n на n над полем F является центральной и простой.  

• Если матрица коммутирует со всеми, она является скалярной.  

• Доказательство простоты: если идеал двусторонний, то он совпадает со всей алгеброй.  

• Матричные единицы образуют базис пространства матриц, что делает идеал совпадающим со всей алгеброй.  

• Идеалы в алгебре должны быть подпространствами.  

• Идеалы устойчивы относительно умножения на скаляры.  

• Любая конечная мерная алгебра является подалгеброй в алгебре матриц.  

• Фактор-кольцо определяется как группа левых смежных классов по идеалу.  

• Умножение в фактор-кольце определяется корректно, если идеал является нормальным.  

• Пример: факторизация целых чисел по нзет дает вычет из.  

• Кольца можно факторизовать по главному идеалу.  

• Пример: кольцо многочленов с вещественными коэффициентами, факторизованное по идеалу, порожденному многочленом x^2 + 1.  

• Получаем комплексные числа.  

• Смежные классы состоят из многочленов, делящихся на x^2 + 1.  

• Многочлены делятся на x^2 + 1, если их степень не меньше второй.  

• Остатки от деления на x^2 + 1 образуют смежные классы.  

• Перемножение смешанных классов аналогично перемножению комплексных чисел.  

• Остаток от деления на x^2 + 1 равен линейному многочлену.  

• Комплексные числа реализуются как фактор кольцо кольца многочленов.  

• Гомоморфизм колец сохраняет сложение и умножение.  

• Ядро гомоморфизма — двусторонний идеал.  

• Образ гомоморфизма — подкольцо.  

• Гомоморфизм колец изоморфен фактору кольца по ядру.  

• Образ гомоморфизма изоморфен фактору кольца по ядру.  

• Проверка сохранения умножения и единицы.  

• Рассматривается гомоморфизм из кольца многочленов с целыми коэффициентами в кольцо многочленов с вычетами по простому модулю.  

• Коэффициенты заменяются на их остатки по модулю п.  

• Ядро гомоморфизма - главный идеал, порожденный элементом п.  

• Рассматривается кольцо функций на множестве М со значениями в поле Ф.  

• Гомоморфизм отображает функцию в значение этой функции в точке М.  

• Ядро гомоморфизма - функции, равные нулю в данной точке.  

• Кольцо функций на множестве можно восстановить по гомоморфизмам в основное поле.  

• Гомоморфизмы соответствуют значениям функций в точках.  

• Это позволяет восстановить множество М по кольцу функций.  

• Кольцо многочленов с коэффициентами в поле является полем тогда и только тогда, когда многочлен неприводим.  

• Комплексные числа получаются как фактор-кольцо по главному идеалу, порожденному x^2+1.  

• Для рациональных чисел можно факторизовать по многочленам высоких степеней, получая интересные поля.