1. Векторы. Скалярное произведение

• Вектор - направленный отрезок, имеющий начало и конец.  

• Векторы могут быть записаны в виде координат.  

• Сложение векторов (параллелограмм).  

• Умножение вектора на число (длина вектора, направление).  

• Проекция вектора на прямую (угол между векторами).  

• Скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними.  

• Свойства скалярного произведения: от перестановки множителей не меняется, сумма двух векторов равна скалярному произведению каждого из них на третий, если вектор во сколько-то раз больше другого, то это то же самое, что умножить первый на второй и потом на это число.  

• В видео объясняется, как найти проекцию вектора на другой вектор, используя скалярное произведение и модуль вектора.  

• Обсуждаются различные задачи, связанные с векторами, такие как сложение и вычитание векторов, нахождение суммы и разности векторов, нахождение угла между векторами и нахождение длины вектора.  

• Объясняется, что коллинеарные векторы пропорциональны друг другу и лежат на параллельных прямых.  

• Приводятся примеры задач, связанных с коллинеарными векторами, таких как нахождение координат одного вектора через другой и проверка, являются ли четыре точки вершинами трапеции.  

• Задача: найти вектор, направленный по биссектрисе угла между двумя векторами.  

• Решение: найти единичные векторы, направленные по осям координат, и сложить их.  

• Задача: найти разложение вектора по базису, состоящему из двух других векторов.  

• Решение: записать координаты векторов в виде суммы координат векторов из базиса и неизвестных коэффициентов.  

• Решить систему уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов.  

• Задача: вычислить скалярное произведение двух векторов.  

• Решение: использовать формулу скалярного произведения и свойства линейности.  

• Рассмотреть сумму векторов и квадрат суммы векторов.  

• Задача о векторе п, который перпендикулярен вектору а, решается через скалярное произведение этих векторов.  

• Доказывается, что если скалярное произведение равно нулю, то векторы перпендикулярны.  

• Решаются задачи о работе силы, перемещении по прямой и вычислении угла между векторами.  

• На примере вектора икс, который образует острый угол с осью z, находится его длина и координаты.  

• Используя скалярное произведение икса на вектор к, находится модуль икс и его координаты.  

• Модуль икс равен 50, а координаты равны (-4, -8, -7.5).  

• Объясняется, что скалярное произведение векторов равно сумме попарных произведений координат векторов, деленной на длину вектора.  

• Скалярное произведение используется для нахождения проекции вектора на другой вектор.  

• Задача о сумме и разности двух векторов, где сумма равна диагонали прямоугольника, а разность равна сумме вектора и его противоположного вектора.  

• Задача о медиане треугольника, где координаты вектора, совпадающего с медианой, находятся через координаты других векторов.  

• Задача о высотах и биссектрисах треугольника, где координаты векторов, совпадающих с этими отрезками, также находятся через координаты других векторов.  

• Автор объясняет, как найти медианы треугольника, используя векторы и их свойства.  

• Он объясняет, что медиана - это половина диагонали параллелограмма, образованного векторами.  

• Затем он переходит к задаче о нахождении высоты треугольника, используя известные векторы и их длины.  

• Автор объясняет, как использовать скалярное произведение для решения задачи.  

• Он приводит примеры и объясняет, как раскрыть скобки в скалярном произведении.  

• В конце автор приводит пример решения задачи, используя полученные знания.  

• Автор решает задачу, используя знание о том, что сумма попарных скалярных произведений векторов равна нулю.  

• Он умножает скалярное произведение векторов на вектор а, получая равенство, которое затем умножает на вектор б и вектор ц.  

• После этого автор складывает три полученных равенства и делит на два, получая ответ.  

• Автор объясняет, что вектор икс пропорционален вектору а и имеет координаты 1, 1/2, -1/2.  

• Он также объясняет, что проекция вектора на ось, заданную направлением вектора б, равна скалярному произведению вектора а на вектор б, деленному на длину вектора б.  

• Автор объясняет, что проекция вектора с на вектор б равна скалярному произведению вектора с на вектор б, деленному на длину вектора б.  

• Он находит косинусы углов между векторами и б, чтобы убедиться, что они образуют равные и острые углы со всеми координатными осями.  

• В итоге, проекция вектора с на вектор б равна корню из трех.