Теория планиметрии. Урок 2. Медианы и биссектрисы.

• Эрик готовит к ЕГЭ по математике, курс по планиметрии.  

• Курс состоит из нескольких уроков с домашними заданиями.  

• Сначала рассматриваются базовые теоремы, затем более сложные.  

• Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром.  

• Свойства ортоцентра часто встречаются во второй части ЕГЭ.  

• Доказательства свойств ортоцентра будут даны ближе к концу курса.  

• Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.  

• Равновеликие треугольники имеют равную площадь.  

• Пример с треугольником ABC и медианой AM показывает, как медиана делит треугольник на два равновеликих.  

• Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников ABM и BМЦ.  

• Используем формулу площади треугольника для доказательства.  

• Доказываем, что площади треугольников ABM и BМЦ равны.  

• Три медианы делят треугольник на шесть равновеликих треугольников.  

• Все медианы и высоты пересекаются в одной точке.  

• Доказываем, что площади шести треугольников равны.  

• Рассматриваем треугольники BOC, AOC и ABC.  

• Доказываем, что площади этих треугольников равны.  

• Уничтожаем подобные члены и получаем, что площади всех шести треугольников равны.  

• Медианы и высоты пересекаются в одной точке и делятся в отношении 2:1.  

• Доказываем это свойство, используя площади треугольников.  

• Подчёркивается важность понимания доказательств в планиметрии.  

• Метод доказательства задач через использование известных свойств.  

• Упоминание о формуле длины медианы треугольника, которая будет рассмотрена в конце курса.  

• Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.  

• Это свойство часто используется в задачах, особенно при работе с треугольниками и трапециями.  

• Доказательство основано на равенстве перпендикуляров, проведённых из точки пересечения биссектрис.  

• Точка пересечения биссектрис равноудалена от всех сторон треугольника.  

• Окружность, вписанная в треугольник, касается всех его сторон в точках пересечения биссектрис.  

• Центр вписанной окружности совпадает с точкой пересечения биссектрис.  

• Биссектриса делит противоположную сторону треугольника на отрезки, пропорциональные боковым сторонам.  

• Это свойство часто используется во второй части ЕГЭ.  

• Продление биссектрисы и проведение высот образуют подобные треугольники.  

• Стороны, лежащие напротив равных углов, пропорциональны.  

• Приравнивание сторон в подобных треугольниках доказывает свойство биссектрисы.  

• Срединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром описанной окружности.  

• Точка пересечения срединных перпендикуляров равноудалена от всех вершин треугольника.  

• Рекомендация выполнить домашнее задание для закрепления материала.  

• Подчёркивание важности теоретического материала для решения задач.