1. Базовые понятия линейной алгебры. Векторы. Матрицы. Нормы. Скалярные произведения. МФТИ 2022.

• Матрицы представляют собой таблицы чисел.  

• Векторы-столбцы и транспонированные векторы.  

• Матрицы размера M на N и их транспонирование.  

• Симметричные матрицы совпадают с транспонированными.  

• Положительно определенные матрицы: произведение вектора на транспонированную матрицу положительно.  

• Отрицательно определенные матрицы: произведение вектора на транспонированную матрицу отрицательно.  

• Произведение двух матриц создает новую матрицу.  

• Умножение матриц не коммутативно.  

• Умножение матриц требует O n^2 операций для каждого элемента.  

• Умножение матрицы на вектор требует O n^2 операций.  

• Транспонирование матриц и векторов.  

• Матричная экспонента и её применение в оптимизации.  

• Нормы матриц и их важность.  

• Введение в понятие нормы и её применение.  

• Обсуждение базовых понятий норм.  

• Евклидова норма как частный случай нормы.  

• Введение понятия бесконечной нормы.  

• Построение единичного шарика в п-норме.  

• Сравнение с евклидовой нормой.  

• Введение понятия бесконечной нормы.  

• Введение понятия выпуклости.  

• Связь выпуклости с нормой.  

• Применение к матрицам.  

• Евклидова норма матрицы.  

• Спектральная норма матрицы.  

• Связь с сингулярными числами.  

• Введение нормы Чебышева.  

• Связь с бесконечной нормой.  

• Примеры использования нормы Чебышева.  

• Определение скалярного произведения.  

• Связь скалярного произведения с нормой.  

• Пример использования скалярного произведения.  

• Скалярное произведение матриц можно определить как умножение транспонированных матриц и сложение диагональных элементов.  

• Это работает для квадратных и прямоугольных матриц одинакового размера.  

• Введенная норма согласована с скалярным произведением матрицы на саму себя.  

• Рассматривается задача нахождения суммы скалярных произведений матриц.  

• Матрица С представляется в виде произведения матриц А и А транспонированной.  

• Матрица А транспонированная состоит из векторов, выложенных строками.  

• Матрица S представляется в виде скелетного разложения.  

• Матрица S минус транспонированная совпадает с S минус 1.  

• Матрица М представляется как произведение матриц А транспонированной и S минус 1.  

• Диагональные элементы произведения матриц строятся как произведение строки левой матрицы на столбец правой матрицы.  

• Матрица А транспонированная умножается на и ты столбец матрицы S минус 1.  

• Это приводит к тому, что и ты столбец матрицы S минус 1 а совпадает с S минус 1 а.  

• Матрица М может быть представлена как произведение матриц А транспонированной и S минус 1.  

• Диагональные элементы совпадают, что позволяет рассматривать только сумму диагональных элементов.  

• Исходная сумма может быть представлена как след матрицы А транспонированной S минус 1 А, что совпадает с матрицей S.