Критерий Дарбу, интегрируемость непрерывных функций | 19 | Константин Правдин | НОЦМ ИТМО

• Функция, интегрируемая на отрезке, должна быть ограничена на этом отрезке.  

• Если функция не ограничена, то верхняя сумма дарбу будет бесконечной, что противоречит интегрируемости.  

• Для того чтобы функция была интегрируема, разность между верхней и нижней суммой дарбу должна быть равна нулю при стремлении мелкости разбиения к нулю.  

• Это условие является необходимым и достаточным для интегрируемости функции.  

• Если верхняя и нижняя сумма Дарбу не сильно отличаются друг от друга, то существует интегральная сумма, которая будет отличаться от числа, близкого к этим суммам.  

• Если верхняя и нижняя сумма Дарбу конечны, то и интегральная сумма будет конечной.  

• Если разность между верхней и нижней суммой Дарбу стремится к нулю при стремлении мелкости разбиения к нулю, то разность между интегральной суммой и числом, близким к верхней и нижней сумме Дарбу, также стремится к нулю.  

• Это означает, что интеграл Римана равен этому числу.  

• Верхняя и нижняя сумма Дарбу стремятся к одному числу при уменьшении мелкости разбиения.  

• Разность между ними в пределе равна нулю, что означает, что интеграл Римана равен этому числу.  

• Вводится понятие колебания функции на отрезке и формулируется критерий интегрируемости по Дарбу в терминах колебаний.  

• Доказывается, что любая непрерывная функция на отрезке интегрируема по этому критерию.  

• Определяется класс интегрируемых функций на отрезке как класс непрерывных функций.  

• Доказывается, что кусочно-непрерывная функция также интегрируема.  

• Доказывается, что если значение функции изменить на конечном множестве точек, то интегрируемость не нарушится и интеграл не изменится.  

• Это необходимое условие интегрируемости функции.  

• Доказывается, что если функция интегрируема на отрезке, то она также интегрируема на интервале, который включает этот отрезок.  

• Если функция интегрируема на отрезке, то она также интегрируема на любом отрезке, который включает этот отрезок.  

• Если функция кусочно-непрерывна на отрезке, то она интегрируема на этом отрезке.  

• Если функция кусочно-непрерывна на отрезке, то она интегрируема на каждом из отрезков, которые соединяются друг с другом.  

• Благодаря этим двум теоремам, кусочная непрерывная функция интегрируема, так как она непрерывна на каждом из отрезков.