Промежутки монотонности функции.

• Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.  

• Возрастающая функция: значение функции увеличивается с ростом аргумента.  

• Убывающая функция: значение функции уменьшается с ростом аргумента.  

• Касательная к возрастающей функции идет вверх, производная положительна.  

• Касательная к убывающей функции идет вниз, производная отрицательна.  

• Достаточное условие: если производная больше нуля, функция возрастает, если меньше нуля – убывает.  

• Находим область определения функции.  

• Находим производную функции.  

• Приравниваем производную к нулю и находим критические точки.  

• Отмечаем критические точки на числовой прямой и определяем знаки производной.  

• Делаем вывод о монотонности функции по знакам производной.  

• Пример: найти промежутки монотонности функции f от x = x^3 - 6x^2 + 4.  

• Находим область определения: от -∞ до +∞.  

• Находим производную: 3x^2 - 12x.  

• Приравниваем производную к нулю: x = 0 и x = 4 – критические точки.  

• Отмечаем критические точки на числовой прямой.  

• Определяем знаки производной на промежутках: от -∞ до 0, от 0 до 4, от 4 до +∞.  

• На первом промежутке от -∞ до 0 производная положительна, функция возрастает.  

• На втором промежутке от 0 до 4 производная отрицательна, функция убывает.  

• На третьем промежутке от 4 до +∞ производная положительна, функция возрастает.  

• Делаем вывод о монотонности функции: от -∞ до 0 функция возрастает, от 0 до 4 функция убывает, от 4 до +∞ функция возрастает.  

• Строим график функции в GeoGebra.  

• На графике видны промежутки монотонности: от -∞ до 0 функция возрастает, от 0 до 4 функция убывает, от 4 до +∞ функция возрастает.