Про способы разложения матрицы: полярное, сингулярное и "треугольное" (SU, UDV, LU)

• Самосопряженные операторы имеют симметричную матрицу.  

• Ортогональные операторы имеют матрицу перехода в ортонормированном базисе.  

• Ортогональные и диагональные матрицы удобны для вычисления обратных матриц.  

• Разложение матрицы на ортогональную и диагональную удобно для вычисления обратных матриц.  

• Обратная матрица от диагональной или ортогональной матрицы вычисляется просто.  

• Разложение матрицы не всегда можно выписать, но иногда это можно сделать по геометрии.  

• Полярное разложение матрицы раскладывает линейный оператор на поворот и растяжение.  

• Матрица у описывает поворот, а матрица с — растяжение вдоль собственных векторов.  

• Полярное разложение не всегда однозначно, особенно для операторов проектирования.  

• Сингулярное разложение матрицы УДВ популярно в обработке данных.  

• Матрица может быть прямоугольной и раскладывается на три компоненты: ортогональную, диагональную и ортогональную.  

• Разложение помогает уменьшить объем данных и объединить похожие элементы.  

• Треугольное разложение матрицы использует метод Гаусса для приведения матрицы к треугольному виду.  

• Матрица раскладывается на верхнюю и нижнюю треугольные части.  

• Это удобно для решения систем линейных уравнений и вычисления определителей.  

• Спектральное разложение матрицы использует собственные числа и векторы.  

• Матрица перехода составляется из собственных векторов и собственных значений.  

• Спектральное разложение позволяет найти ортонормированный базис и составить матрицу перехода.  

• Собственные значения должны быть полными квадратами.  

• Матрицы с единицами на корень из собственного значения.  

• Перемножение матриц приводит к симметричной и ортогональной матрице.  

• Перемножение взаимно обратных матриц дает единичную матрицу.  

• Диагональные элементы перемножаются, оставляя единичную матрицу.  

• Цель преобразования - разобрать линейный оператор на последовательные действия.  

• Матрица оператора имеет вид 3-3, 1, 1.  

• Перемножение транспонированной матрицы на саму себя дает симметричную матрицу.  

• Нахождение собственных значений и векторов.  

• Собственные значения: 2 и 18.  

• Собственные векторы: 1/√2, 1/√2 и -1/√2, -1/√2.  

• Составление матрицы перехода из собственных векторов.  

• Матрица перехода из собственных векторов.  

• Матрица перехода из б в б ноль.  

• Симметричность матрицы и нахождение матрицы с.