Про способы разложения матрицы: полярное, сингулярное и "треугольное" (SU, UDV, LU)

• Самосопряженные операторы имеют симметричную матрицу.  

• Ортогональные операторы имеют матрицу перехода в ортонормированном базисе.  

• Ортогональные и диагональные матрицы удобны для вычисления обратных матриц.  

• Разложение матрицы на ортогональную и диагональную удобно для вычисления обратных матриц.  

• Обратная матрица от диагональной или ортогональной матрицы вычисляется просто.  

• Разложение матрицы не всегда можно выписать, но иногда это можно сделать по геометрии.  

• Полярное разложение матрицы раскладывает линейный оператор на поворот и растяжение.  

• Матрица у описывает поворот, а матрица с — растяжение вдоль собственных векторов.  

• Полярное разложение не всегда однозначно, особенно для операторов проектирования.  

• Сингулярное разложение матрицы УДВ популярно в обработке данных.  

• Матрица может быть прямоугольной и раскладывается на три компоненты: ортогональную, диагональную и ортогональную.  

• Разложение помогает уменьшить объем данных и объединить похожие элементы.  

• Треугольное разложение матрицы использует метод Гаусса для приведения матрицы к треугольному виду.  

• Матрица раскладывается на верхнюю и нижнюю треугольные части.  

• Это удобно для решения систем линейных уравнений и вычисления определителей.  

• Спектральное разложение матрицы использует собственные числа и векторы.  

• Матрица перехода составляется из собственных векторов и собственных значений.  

• Спектральное разложение позволяет найти ортонормированный базис и составить матрицу перехода.  

• Собственные значения должны быть полными квадратами.  

• Матрицы с единицами на корень из собственного значения.  

• Перемножение матриц приводит к симметричной и ортогональной матрице.  

• Перемножение взаимно обратных матриц дает единичную матрицу.  

• Диагональные элементы перемножаются, оставляя единичную матрицу.  

• Цель преобразования - разобрать линейный оператор на последовательные действия.  

• Матрица оператора имеет вид 3-3, 1, 1.  

• Перемножение транспонированной матрицы на саму себя дает симметричную матрицу.  

• Нахождение собственных значений и векторов.  

• Собственные значения: 2 и 18.  

• Собственные векторы: 1/√2, 1/√2 и -1/√2, -1/√2.  

• Составление матрицы перехода из собственных векторов.  

• Матрица перехода из собственных векторов.  

• Матрица перехода из б в б ноль.  

• Симметричность матрицы и нахождение матрицы с.  

• Умножение матриц для нахождения матрицы у.  

• Поворот на 45 градусов вдоль собственных векторов.  

• Растяжение вдоль собственных векторов на расстояние, равное собственным числам.  

• Собственные векторы и числа для матрицы с.  

• Ортонормированный базис и диагональный вид.  

• Важность запоминания материала для дальнейшего использования.  

• Автор объясняет, что пропустила процедуры умножения матриц, так как рассчитывает на знание материала студентами.  

• Матрица А равна произведению матриц У и С.  

• Важно понимать, что сначала умножается матрица С, а затем У.  

• Оператор выполняет два действия последовательно: сначала С, затем У.  

• Пример: вектор 3, 2 умножается на матрицу, что дает вектор 3, 5.  

• Студенты должны проверить правильность умножения.  

• Оператор С умножается на вектор У, что дает новый вектор.  

• Новый вектор растягивается вдоль новых координатных осей.  

• Следующий шаг - поворот на 45 градусов по часовой стрелке.  

• Сингулярное разложение позволяет сократить объем данных.  

• Матрицы А и А транспонированная ищутся и обрабатываются.  

• Собственные значения и векторы используются для создания матриц перехода.  

• Пример прямоугольной матрицы и ее транспонированной.  

• Нахождение собственных значений и векторов.  

• Собственные векторы ортогональны и взаимно перпендикулярны.  

• Метод Гаусса используется для приведения матрицы к треугольному виду.  

• Первый шаг: деление первого элемента на единицу и удаление нулевых элементов.  

• Второй шаг: вычитание первой строки из остальных строк.  

• Первый столбец уже сформирован.  

• Первая строчка не трогается, остальные строки переписываются.  

• Разделение на единицу и минус четыре.  

• Переписывание столбцов для фиксации коэффициентов.  

• Технология "делай раз, делай два".  

• Матрица разбивается на произведение двух треугольников.  

• Решение системы уравнений методом Гаусса.  

• Получение нижнего и верхнего треугольников.  

• Обратная прогонка для решения системы.  

• Три разложения матрицы.  

• Возможность использования других разложений.  

• Анонс зачетов и инструкций для получивших зачеты.