Случайные процессы 1. Вводные понятия. Теоремы Колмогорова

• Максим Шарабоков представляет себя и курс по случайным процессам.  

• Курс включает теорию вероятностей и случайные процессы.  

• В следующем семестре будет курс по математической статистике.  

• Студенты должны сдать два задания, возможна контрольная работа и экзамен.  

• Все материалы курса доступны на сайте.  

• На сайте есть лекции, видеозаписи, семинары, программа курса и список литературы.  

• Вопросы можно задавать по почте или в ВК.  

• Лекции самодостаточны, литература по случайным процессам разнообразна.  

• Лекции и материалы на сайте помогут студентам.  

• Курс предполагает изучение случайных процессов, которые развиваются во времени и непредсказуемы.  

• Примеры включают подбрасывание монетки, ожидание автобуса, радиосигналы с помехами.  

• Случайные процессы встречаются в физике, машинном обучении и других областях.  

• Мы не можем предсказать будущее поведение случайных процессов.  

• Мы можем оценить вероятность поведения процесса и его характеристики.  

• Для этого нужна подходящая модель, основанная на теории вероятностей.  

• Модели строятся на основе случайных величин и функций распределения.  

• Случайный процесс — это параметрическое семейство случайных величин.  

• Время т может быть дискретным или непрерывным.  

• Фиксируя время, получаем случайную величину, фиксируя исход — детерминированную функцию.  

• Фиксируем время и получаем сечение случайной величины.  

• Рассматриваем процесс, например, курс акций, и его будущее значение.  

• Проблема в том, что будущее значение может быть разным для разных исходов.  

• Наблюдаем реализацию процесса, но не знаем его будущее.  

• Предыстория одинакова для разных исходов, что затрудняет предсказание будущего.  

• Можно вычислять вероятности, но не знаем, какой исход реализовался.  

• Рассматриваем несколько сечений процесса в разные моменты времени.  

• Эти сечения образуют случайный вектор, который имеет функцию распределения.  

• Функция распределения случайного процесса позволяет вычислять вероятности событий.  

• Пример: вычисление вероятности попадания в интервал в будущий момент времени.  

• Используем одномерную функцию распределения для вычисления вероятности.  

• Можно считать более сложные вероятности с использованием функции распределения.  

• Функция распределения лежит в интервале от 0 до 1.  

• Непрерывна слева по каждой переменной.  

• При стремлении одной переменной к минус бесконечности вероятность стремится к нулю.  

• При стремлении всех переменных к плюс бесконечности вероятность стремится к единице.  

• Функция монотонна в некотором смысле, что делает её полезной для анализа процессов.  

• Рассматривается действие на компоненту икс-энты.  

• Объясняется, как разность компонент увеличивается с каждым шагом.  

• Подчеркивается, что разность всегда больше или равна нулю.  

• Перестановка событий не меняет функцию распределения.  

• Замена иксов на плюс бесконечность делает функцию распределения конечной.  

• Функции распределения должны удовлетворять определенным свойствам.  

• Семейство функций распределения удовлетворяет определенным свойствам.  

• Теорема Колмогорова утверждает, что такое семейство функций соответствует случайному процессу.  

• Процесс и вероятностное пространство могут быть не единственными.  

• Случайные процессы можно задавать через семейства конечномерных распределений.  

• Теорема позволяет конструктивно строить процессы и вероятностные пространства.  

• Доказательство теоремы показывает, как строится процесс.  

• Два случайных процесса могут иметь одинаковое распределение.  

• Вводится понятие стахастически эквивалентных процессов.  

• Эквивалентные процессы называются модификациями друг друга.  

• Логическая линия завершается теоремой Колмогорова.  

• Рассматривается геометрический смысл разности функций распределений.  

• Подчеркивается важность понимания этих понятий для дальнейшего изучения.  

• Рассматривается вероятность попадания процесса в интервал от x1 до x1+h1.  

• Вводится понятие дельта-функции, которая действует на второй аргумент.  

• Дельта-функция увеличивает вероятность попадания в интервал от x2 до x2+h2.  

• Дельта-функция увеличивает вероятность попадания в определенный угол на плоскости.  

• Вероятность попадания в прямоугольник равна сумме вероятностей попадания в углы.  

• Вероятность попадания в прямоугольник не отрицательна, что соответствует геометрическому смыслу.  

• Обсуждаются стахастические эквивалентности и их связь с семейством конечномерных распределений.  

• Если два процесса стахастически эквивалентны, их семейства конечномерных распределений совпадают.  

• Введение нового времени t и его влияние на случайные процессы.  

• Рассматриваются различные типы случайных процессов в зависимости от множества t.  

• Если t одноэлементно, процесс является случайной величиной.  

• Если t конечно, процесс является случайным вектором.  

• Если t бесконечно, процесс является случайной последовательностью.  

• Если t непрерывно, процесс является случайной функцией.  

• Возникают проблемы с вычислением вероятностей событий, связанных с непрерывным временем.  

• Пример: вероятность того, что процесс возрастает на интервале, определена ли она?  

• Рассматривается вопрос о том, определена ли вероятность события, связанного с процессом в несчетном множестве точек.  

• Для каждого фиксированного t случайная величина Xt измерима и обладает вероятностью.  

• Пересечение множеств измеримо и также обладает вероятностью.  

• Конечное пересечение элементов сигма-алгебры также измеримо и имеет вероятность.  

• Для определения вероятности события, состоящего из конечных пересечений, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке t оно было меньше x.  

• Пересечение несчетного числа множеств может не быть измеримым, что делает вероятность неопределенной.  

• В некоторых случаях вероятность может быть определена, но это зависит от процесса и его реализаций.  

• Если все траектории процесса непрерывны, пересечение множеств измеримо и вероятность определена.  

• В этом случае можно считать вероятности без проблем.  

• Если траектории не непрерывны, вероятность может быть неопределенной, и нужно изучать процесс более глубоко.  

• Один и тот же процесс может иметь как произвольные, так и непрерывные траектории.  

• Можно задать новое вероятностное пространство с непрерывными траекториями, сохраняя семейство конечномерных распределений.  

• Теорема Колмогорова позволяет определить, какие процессы имеют непрерывные модификации.  

• Если существуют числа a, b, c такие, что для всех t и t+a вероятность больше или равна нулю, то процесс имеет непрерывную модификацию.  

• Это позволяет переопределить процесс на новом вероятностном пространстве с непрерывными траекториями.  

• На новом пространстве можно вычислять вероятности, избегая проблем с несчетными пересечениями.  

• Введены определения случайного процесса и семейства конечномерных распределений.  

• Рассмотрены свойства семейства распределений и понятие модификации процессов.  

• В некоторых случаях можно вычислить вероятности, если все траектории непрерывны, благодаря теореме существования непрерывной модификации.  

• Лекция была абстрактной, но вводной.  

• Рассматриваются сигма-алгебры и теория вероятности.  

• В дальнейшем будут решаться более насущные проблемы.  

• Процессы и случайные величины будут определяться через семейства распределений.  

• Рассматриваются математическое ожидание, дисперсия и корреляционная функция процесса.  

• Важные виды случайных процессов: пуассоновский, винеровский, гауссовские, стационарные и эргодические.  

• Вторичное вероятностное пространство используется для случайных величин и процессов.  

• Пространство исходов может быть абстрактным, но на практике используется выборочное пространство.  

• Для случайных процессов вторичное пространство определяется на множестве функций.  

• Случайные процессы можно обобщать, добавляя параметры.  

• Случайные поля — это обобщение с несколькими параметрами.  

• В курсе не будут рассматриваться случайные поля, но они интересны для изучения.  

• Книга с приложениями случайных процессов в реальности.  

• Примеры: задача PageRank Google и марковские цепи.  

• Книга полезна для понимания практического применения теории.