Несобственный интеграл: определение и свойства | 23 | Константин Правдин | НОЦМ ИТМО

• Преподаватель обсуждает несобственный интеграл и его применение в математике.  

• Рассматриваются различные случаи, когда функция может быть не определена в точке или на границе отрезка.  

• Преподаватель вводит определение локально интегрируемой функции и объясняет, как это связано с несобственным интегралом.  

• Рассматриваются примеры функций, которые могут быть локально интегрируемыми на промежутке.  

• Преподаватель приводит примеры несобственных интегралов первого и второго рода, а также объясняет, как их вычислять.  

• Обсуждаются случаи, когда несобственный интеграл может сходиться или расходиться.  

• Вводится определение несобственного интеграла от функции на промежутке от a до b, где a и b - фиксированные точки.  

• Если функция ограничена на промежутке, то интеграл сходится.  

• Вычисляются интегралы от единички до плюс бесконечности до икс делить на икс для разных значений параметра альфа.  

• Выясняется, что интеграл сходится, если степень в знаменателе больше единицы, и расходится, если меньше единицы.  

• Предполагается, что интеграл от нуля до единицы до икс делить на икс в степени альфа сходится, если альфа меньше либо равно единицы, и расходится, если больше единицы.  

• Аналитически вычисляется интеграл для разных значений параметра альфа.  

• Определяется через предел интеграла Римана.  

• Свойства несобственного интеграла: линейность, аддитивность, монотонность, достаточность, замена переменной.  

• Если интеграл от адб ф д икс расходится, то можно разделить его на две части: от а до ц и от ц до б.  

• Остаток несобственного интеграла от адб ф д икс равен интегралу от ц до б ф д икс.  

• Если предел остатка равен нулю, то несобственный интеграл сходится.  

• Рассматривается интеграл от несобственного интеграла, который сходится, если интеграл от адб сходится.  

• Доказывается, что левая часть интеграла также сходится, если правая часть конечна.  

• Доказывается формула интегрирования по частям для несобственного интеграла.  

• Условия для функции у и в: дифференцируемы на промежутке от а до б, непрерывны и интегрируемы.  

• Доказывается формула замены переменной для несобственного интеграла.  

• Условия для функции фи: непрерывна, дифференцируема, локально интегрируема.  

• Рассматриваются случаи, когда гамма стремится к бета или к бесконечности.  

• В видео обсуждается переход к пределу и его связь с несобственными интегралами.  

• Рассматривается пример интеграла от функции, которая не является непрерывной на границе.  

• Обсуждается замена переменных в несобственных интегралах и их связь с интегралами первого и второго рода.  

• Приводится пример вычисления несобственного интеграла с использованием замены переменных.  

• В видео обсуждаются условия, при которых несобственные интегралы могут быть сведены к интегралам первого рода.  

• В следующий раз планируется рассмотреть условия, при которых интегралы могут быть сведены к конечным значениям или бесконечности.