Лекция 3 (Аксиомы и теоремы теории вероятностей)

• Курс лекций по дисциплине "Высшая математика" раздел "Теория вероятностей и математическая статистика".  

• Лекция номер три посвящена аксиомам и теоремам теории вероятностей.  

• Вспоминаем материал предыдущих двух лекций.  

• Аксиоматическое определение вероятности по Андрею Николаевичу Колмогорову.  

• Аксиома 1: каждому случайному событию ставится в соответствие неотрицательное число вероятность.  

• Аксиома 2: вероятность достоверного события равна единице.  

• Аксиома 3: вероятность суммы попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей.  

• Следствие 1: вероятность невозможного события равна нулю.  

• Следствие 2: сумма вероятностей противоположных событий равна единице.  

• Следствие 3: сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.  

• Следствие 4: вероятность события принадлежит отрезку от нуля до единицы.  

• Следствие 5: если событие А влечет за собой событие Б, то вероятность А меньше или равна вероятности Б.  

• Пример с шарами: найти вероятность того, что вынутый шар цветной.  

• Решение: вероятность цветного шара равна сумме вероятностей зеленого, синего и красного шаров.  

• Альтернативное решение: вероятность цветного шара равна единице минус вероятность белого шара.  

• Безусловная вероятность и условная вероятность.  

• Независимые события: вероятность события не меняется от того, произошло другое событие или нет.  

• Пример с картами: вероятность второй червовой карты зависит от масти первой карты.  

• Пример с монетой и игральной костью: события выпадения орла и четверки независимы.  

• Независимость событий в совокупности: независимость любых двух событий и независимость любых комбинаций событий.  

• Пример: три события независимы в совокупности, если независимы любые два из них.  

• Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности первого на условную вероятность второго при условии первого события.  

• Пример задачи: найти вероятность того, что оба шара будут белые из урны с белыми и черными шарами.  

• Решение: вероятность совместного появления событий равна произведению вероятностей каждого события.  

• Если события Ai имеют одинаковую вероятность, то вероятность появления хотя бы одного из них вычисляется по формуле: P(A1 + A2 + ... + An) = 1 - k^n, где k = 1 - P.  

• Пример: два стрелка стреляют в мишень, вероятность попадания первого стрелка 0.6, второго - 0.8. Какова вероятность, что хотя бы одна пуля попадет в мишень?  

• Событие A - попадание первого стрелка, событие B - попадание второго стрелка.  

• Вероятность события A + B равна P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A x B).  

• Вероятность события A x B = 0.48, поэтому P(A + B) = 0.6 + 0.8 - 0.48 = 0.92.  

• Обозначаем стрелков римскими цифрами 1 и 2.  

• Вероятности попадания: 0.6 для первого стрелка и 0.8 для второго.  

• Вероятность хотя бы одного попадания: 0.6 * 0.2 + 0.4 * 0.8 + 0.6 * 0.8 = 0.92.  

• Из урны с 4 белыми и 6 черными шарами извлекают два шара.  

• Вероятность разного цвета шаров: 0.85 при выборке без возвращения и 0.12 при выборке с возвращением.  

• Вероятность выхода из строя первого станка 0.2, второго - 0.1, третьего - 0.3.  

• Вероятность всех станков работающих: 0.504.  

• Вероятность одного сломанного станка: 0.308.  

• Вероятность двух сломанных станков: 0.092.  

• Вероятность хотя бы одного сломанного станка: 0.496.  

• Вероятность отсутствия шоколадок в обоих автоматах 0.18.  

• Вероятность наличия шоколадок в обоих автоматах: 0.38.  

• Решение по теореме 2: P(A + B) = P(A) + P(B) - P(A x B) = 0.6 + 0  

• Для разрушения моста достаточно попадания одной авиабомбы.  

• Найти вероятность разрушения моста при сбросе четырех авиабомб с вероятностью попадания 0.4 каждая.  

• Для каждой бомбы вероятность попадания 0.4, а вероятность промаха 0.6.  

• Для нахождения вероятности хотя бы одного попадания нужно из единицы вычесть вероятность четырех промахов 0.6^4.  

• Для нахождения вероятности случайного события важно правильно выбрать схему решения задачи.  

• Изучены две схемы: схема с урнами и схема на успех или неудачу.  

• Схема с урнами применима для зависимых и независимых событий.  

• Схема на успех или неудачу работает в большинстве задач, но для зависимых событий нужно использовать теорему номер три.  

• Для случая хотя бы одного попадания вероятность равна единице минус вероятность неподходящего случая.  

• Лекция завершена.