Олимпиадная математика. Принцип Дирихле. Большая лекция

• В видео объясняется принцип Дирихле, который утверждает, что если в некотором множестве имеется больше объектов, чем ячеек, то обязательно найдутся два объекта, которые окажутся в одной ячейке.  

• Этот принцип был открыт немецким математиком Дирихле в 1834 году и стал основой для многих других математических теорий.  

• В видео приводятся примеры применения принципа Дирихле в различных областях, включая геометрию, теорию чисел и приближение чисел.  

• Например, если в квадрате разместить 5 точек, то обязательно найдутся две точки, расстояние между которыми будет меньше диагонали квадрата.  

• В видео также рассматривается применение принципа Дирихле для оценки приближения иррациональных чисел рациональными дробями.  

• Например, если мы хотим найти приближение корня из 2, то можно использовать дробь 1/2, так как она будет меньше корня из 2.  

• С помощью принципа Дирихле можно найти бесконечное количество таких приближений с любой степенью точности.  

• В видео обсуждается принцип Дирихле, который утверждает, что если в клетке находится больше кроликов, чем количество клеток, то обязательно найдутся две клетки, в которых находится одинаковое количество кроликов.  

• Этот принцип был сформулирован в 19 веке и используется в различных задачах, связанных с математикой и логикой.  

• В видео приводятся примеры задач, в которых используется принцип Дирихле.  

• Например, задача о том, что среди 12 спортсменов найдутся двое знакомых, или задача о том, что среди 100 спортсменов найдутся двое знакомых с номерами, начинающимися с одной и той же цифры.  

• В видео обсуждаются различные аспекты применения принципа Дирихле, включая его использование в задачах с натуральными числами и возможность применения его для решения задач с большим количеством кроликов и клеток.  

• Также обсуждается важность аккуратного применения принципа Дирихле и его использование в различных областях математики и логики.  

• В видео обсуждается принцип Дирихле, который помогает решать задачи с клетками и кроликами.  

• Если в клетке не меньше, чем кроликов, то в какой-то клетке будет не меньше двух кроликов.  

• Задача 6 показывает, как принцип Дирихле может быть применен к разным количествам кроликов и клеток.  

• Если количество кроликов меньше, чем сумма всех натуральных чисел от 1 до n, то в какой-то клетке будет одинаковое количество кроликов.  

• Задача 7 показывает, как пятиклассники могут быстро решать задачи с конфетами и детьми.  

• Они просто складывают количество конфет, которые каждый ребенок получает, и сравнивают с заданным числом.  

• Задача 8 показывает, как можно использовать принцип Дирихле для доказательства того, что в некоторых цехах работает не меньше 200 человек.  

• Сначала определяется среднее количество людей в цехе, затем сравниваются с заданным числом.  

• В коробке с карандашами есть 70 карандашей, из которых нужно найти 9 карандашей одного цвета или 9 карандашей разных цветов.  

• Если не найдется 9 карандашей одного цвета, то их должно быть не меньше 36.  

• 5 грибников собрали 53 гриба, из которых нужно найти троих, которые нашли 36 грибов.  

• Если не найдутся трое, которые нашли 36 грибов, то их должно быть не больше 35.  

• В кинотеатре 7 рядов по 10 мест, 50 детей сходили на утренний сеанс, а потом на вечерний.  

• Нужно доказать, что найдутся двое детей, которые сидели в одном ряду на обоих сеансах.  

• Есть 9 чисел от 1 до 9, которые нужно разделить на 3 группы так, чтобы произведение чисел в каждой группе было не меньше 702.  

• Если хотя бы одно число будет больше 72, то задача решена.  

• Есть 100 гирек массой от 1 до 100 грамм, которые нужно разложить на 10 кучек разной массы, причем чем тяжелее кучка, тем меньше гирек в ней.  

• Если во всех пучках разные массы, то задача решена.  

• Задача о кучках гирек, где нужно разложить 5 кучек гирек так, чтобы масса каждой кучки была меньше массы предыдущей.  

• Можно использовать метод упорядочивания и подсчета, чтобы определить, сколько гирек можно поместить в каждую кучку.  

• Задача о девочках, которые обмениваются конфетами, и нужно доказать, что есть девочка, которая отдала не меньше конфет, чем получила.  

• Используем метод упорядочивания и подсчета, чтобы определить, сколько конфет у каждой девочки.  

• Задача о машинах, которые должны перевезти ящики с общей массой 10 тонн, где масса каждого ящика не больше 1 тонны.  

• Используем метод двух сторон, чтобы определить, сколько машин нужно заказать.  

• Задача состоит в том, чтобы загрузить 4 машины ящиками, каждый из которых весит 2 тонны.  

• Необходимо доказать, что это возможно, используя принцип Дирихле.  

• Задача состоит в том, чтобы доказать, что найдутся два человека, которые отправили друг другу открытки.  

• Используем идею о том, что каждый мог отправить открытки 5 людям, но не всем.  

• Задача состоит в том, чтобы доказать, что в любом квадрате 1009x1009 найдется хотя бы одна ладья.  

• Используем принцип Дирихле и рассматриваем различные варианты расположения ладей на доске.  

• В видео обсуждается задача о размещении ладей на шахматной доске.  

• Задача состоит в том, чтобы найти количество расстановок ладей на доске, учитывая, что каждая ладья может стоять на любой горизонтали и вертикали.  

• В результате получается 2012 расстановок ладей.  

• В видео обсуждается задача о кубике с 8 вершинами, на котором нужно нумеровать вершины так, чтобы сумма чисел на концах ребер была разной.  

• Задача решается с помощью поиска противоречий и использования различных сумм чисел на ребрах.  

• В видео обсуждается задача о шахматах, где на каждой горизонтали есть хотя бы одна фигура.  

• Задача состоит в том, чтобы доказать, что можно убрать часть фигур с доски так, чтобы в каждой горизонтали и вертикали не было ни одной фигуры.  

• Задача о школьниках, которые пошли в поход, и среди них есть одноклассники.  

• Доказано, что в походе приняли участие не менее восьми человек из одного класса.  

• Задача о выборе шести чисел из первой сотни, где никакие два числа не имеют одинаковых цифр в одном разряде.  

• Доказано, что всегда можно выбрать такие числа.  

• Задача о том, что в двух соседних группах одинаковое количество чисел, и на предыдущем шаге можно было взять только одно число.  

• Доказано, что такая проблема не возникает, если в группах разное количество чисел.  

• Автор объясняет, что в задаче нужно найти количество чисел в группах, где количество элементов не меньше 6.  

• Он отмечает, что в задаче есть 5 групп, и это не является проблемой.  

• Автор также упоминает, что большие числа, такие как 34, могут быть хорошими числами для выбора, так как они могут быть разделены на меньшие числа.  

• Автор продолжает искать числа, которые можно взять, и отмечает, что нечетные числа могут быть хорошими числами, так как они не делятся на 2.  

• Он также упоминает, что четные числа могут быть хорошими, если они не делятся на 4.  

• Автор продолжает решать задачу, отмечая, что он уже выкинул 10 чисел и должен продолжать выкидывать числа, чтобы найти максимальное количество чисел в группах.  

• Он завершает задачу, утверждая, что максимальное количество чисел в группах равно 33.