Множество Мандельброта. Лекция 1 // Владлен Тиморин

• Множество Мандельброта играет важную роль в теории динамических систем.  

• Обзор множества Мандельброта: что мы знаем, что не знаем и почему оно важно.  

• Множество Мандельброта изображено творчески, с пятнами разного цвета.  

• Множество выделяется на синем фоне, который уходит на бесконечность.  

• Определение множества Мандельброта простое, но требует пояснений.  

• Последовательность: комплексное число возводится в квадрат и прибавляется к нему.  

• Если последовательность ограничена, точка лежит во множестве Мандельброта.  

• Последовательность вычисляется до определенного момента.  

• Если числа становятся большими, точка не лежит во множестве.  

• Если последовательность остается в шаре радиуса два, точка может попасть во множество.  

• Множество Мандельброта содержит интересные фигуры, такие как главная кардиоида.  

• Кардиоида образуется при отображении z^2 на диск с касательной в начале координат.  

• Другие компоненты, такие как окружности и кардиоиды, могут казаться окружностями, но это не так.  

• Динамические системы изменяются по заданному закону, например, законы Ньютона.  

• Время в динамических системах дискретно, и переход от одного состояния к другому определяется отображением.  

• Орбиты в динамических системах дискретны, но называются орбитами.  

• Параметр z параметризует отображения.  

• Квадратный многочлен можно привести к виду, который имеет смысл в терминах динамических систем.  

• Взаимно-однозначное отображение между множествами позволяет переводить орбиты одного отображения в орбиты другого.  

• Линейные автоморфизмы плоскости позволяют привести любой квадратичный трехчлен к виду a + bx + cx^2.  

• Семейство квадратных трехчленов параметризует все квадратичные трехчлены с точностью до сопряжения.  

• Это семейство важно, так как оно позволяет изучать динамику системы с изменением параметра.  

• Множество Мандельброта представляет собой плоскость параметра c.  

• Изменение параметра c меняет динамическую систему.  

• Множество Мандельброта показывает, как свойства системы меняются с изменением параметра.  

• Заполненное множество Жуля состоит из точек, орбиты которых не убегают на бесконечность.  

• Множество Жуля является границей заполненного множества и представляет собой самое интересное место на плоскости.  

• Орбиты точек на множестве Жуля могут быть сложными и не всегда известны.  

• Пример раскраски множества точек для отображения z^2.  

• Синие точки представляют заполненное множество Жуля, а красные точки убегают на бесконечность.  

• Интенсивность цвета указывает на скорость удаления точек на бесконечность.  

• При изменении параметра красные точки убегают на бесконечность, а синие точки стремятся к неподвижной притягивающей точке.  

• Неподвижная притягивающая точка расположена чуть левее нуля.  

• Отображение z^2 имеет две неподвижные точки: ноль и единицу, одна из которых притягивающая, а другая отталкивающая.  

• Фигура похожа на окружность, но с некоторыми изменениями.  

• Граничная кривая множества Жуля почти не имеет касательных.  

• С метрической точки зрения это множество плохо, но с топологической точки зрения это окружность.  

• Граница множества - это множество точек, в окрестности которых есть как точки множества, так и точки его дополнения.  

• Окрестность точки - это маленький диск с центром в этой точке.  

• Пример: для диска точка на окружности является граничной, так как в окрестности есть как точки диска, так и точки за его пределами.  

• При изменении параметра форма меняется, но топология остается неизменной.  

• Множество Жуля остается окружностью, но отображение на этой окружности можно рассматривать как удвоение угла.  

• В некоторый момент происходит параболическая бифуркация, и множество Жуля перестает быть окружностью.  

• При изменении параметра возникает симметричная картинка, называемая базиликой.  

• Базилика имеет сходство с базиликой Сан-Марко, но это условное сходство.  

• В базилике есть синие и зеленые точки, которые отображаются друг в друга.  

• Базилика является фрактальной фигурой, демонстрирующей самоподобие.  

• Подобия могут быть разными, но в разных масштабах фигура похожа на себя.  

• При приближении становится сложно понять масштаб и расположение в фигуре.  

• Отображение действует на плоскости или множестве Жуля.  

• Рассматривается как стрелки, которые деформируются при деформации плоскости.  

• Если стрелки не отрываются при деформации, системы считаются совпадающими.  

• Для отображения на множестве Жуля можно построить явную топологическую модель.  

• Используется диск с граничной окружностью и отображением удвоения угла.  

• Углы на окружности обозначаются в единицах, где полный угол равен единице.  

• Склеивание точек создает неподвижную точку при отображении удвоения угла.  

• Склеивание одной трети и двух третей создает неподвижную точку.  

• Это соответствует неподвижной точке в базилике.  

• Прообразы склеенных точек также нужно склеить.  

• Склеивание прообразов может быть неоднозначным, но всегда выбирается горизонтальный способ склейки.  

• В результате получается счетное число пар точек, которые нужно склеить.  

• После склейки всех пар точек получается фигура, топологически совпадающая с базиликой.  

• Отображение удвоения угла на границе базилики совпадает с отображением на множестве Жуля.  

• Определено отношение эквивалентности на окружности, что гомеоморфно множеству Жуля.  

• Пример множества Жуля называется кроликом.  

• У кролика есть пара ушей, что является фрактальным свойством.  

• Параметры подобраны так, что ноль является критической точкой с периодом три.  

• Ламинация соединяет точки на окружности кривыми.  

• Треугольник является основным элементом ламинации.  

• Склеивание точек треугольника приводит к неподвижной точке.  

• Прообразы треугольника бесконечно много.  

• Схлопывание треугольников в точку создает фигуру кролика.  

• Динамика кролика на множестве Жуля.  

• Контро-множества определяются как счетное множество интервалов.  

• Контро-ожерелья заменяют выкинутые интервалы на диски.  

• Контро-ожерелья встречаются в самолете.  

• Дендриты — это бесконечно тонкие множества.  

• Дендриты имеют топологическую размерность больше единицы.  

• Дендриты могут иметь разные степени вершин.  

• Множество Мандельброта полезно для понимания динамики.  

• Параметры вне множества Мандельброта приводят к контро-множествам.  

• Параметры в множестве Мандельброта создают связанные множества.  

• Параболическая бифуркация происходит при пересечении границы множества Мандельброта.  

• Базилика — центр окружности и компонент множества Мандельброта.  

• Множество Мандельброта содержит много копий самого себя.  

• Преобразование переводит динамику в комплексно-сопряженную.  

• Динамика многочлена z сопряжена с динамикой многочлена z.  

• Дендрит и анти-дендрит — зеркальные отражения друг друга.  

• Множество Мандельброта известно очень хорошо.  

• Можно нарисовать топологическую модель, склеивая пары точек.  

• Существует бесконечно много пар точек, которые нужно склеить.  

• Хорды и многоугольники не пересекаются.  

• Хорды перпендикулярны границе окружности.  

• Множество Мандельброта получается при схлопывании хорд и многоугольников.  

• Множество Мандельброта локально связано.  

• Локальная связанность означает отсутствие патологий.  

• Пример нелокально связанного множества.  

• Локальная линейная связанность эквивалентна локальной связанности.  

• Для любой пары точек на расстоянии меньше дельта можно найти путь в дельта-диске.  

• Пример топологической синусоиды, которая не локально связана.  

• Множество Мандельброта лежит в замкнутом диске радиуса два.  

• Множество Мандельброта является пересечением счетного числа замкнутых множеств.  

• Доказательство замкнутости множества Мандельброта.  

• Эксперименты подтверждают гипотезу о локальной связанности множества Мандельброта.  

• Множество предельных точек для всех точек множества Мандельброта.  

• Последовательности, начинающиеся во множестве Мандельброта, могут приближаться к периодическим циклам или множеству Мандельброта.  

• Последовательность точек ведет себя как последовательность точек претерации рационального поворота.  

• Все точки плотно упакованы на окружности, которая может быть помятой.  

• Пример с удвоением угла на окружности.  

• Возможные множества предельных точек: вся окружность, инвариантное канторово подмножество, периодический цикл, диск Зигеля.  

• Просьба поговорить с теми, кто рассматривает поступление на факультет математики ВШЭ.  

• Это нужно для статистики и оценки вероятности поступления.