Стационарные и критические точки функции на графике функции, по формуле функции. Алгебра 10 класс

• Объяснение темы урока: определение стационарных и критических точек функции.  

• Обучение нахождению точек по графику и формуле.  

• Пример квадратичной функции, заданной графически.  

• Проведение касательных к графику функции.  

• Геометрический смысл производной: угловой коэффициент касательной равен тангенсу угла, образованного касательной с положительным направлением оси x.  

• Функция возрастает, если её производная больше нуля.  

• Функция убывает, если её производная меньше нуля.  

• В точке x = 0 производная равна нулю, что делает эту точку стационарной.  

• Определение стационарной точки: точка, в которой производная равна нулю.  

• Касательная к графику функции в стационарной точке параллельна оси абсцисс.  

• Критические точки — это внутренние точки области определения, в которых производная не существует и функция непрерывна.  

• Пример: на графике функции производная не существует в точках x = 0, x = x1, x = x2, x = x3.  

• Точка x1 не является критической, так как функция в этой точке терпит разрыв.  

• Анализ графика функции для нахождения стационарных и критических точек.  

• Определение стационарных точек: x = 2, x = 3, x = 7, x = 8, x = 9.  

• Определение критических точек: x = 1, x = 4, x = 5, x = 6, x = 10.  

• Пример функции y = 4 - 2x + 7x^2.  

• Область определения: любое действительное число.  

• Нахождение стационарной точки: x = 1/7.  

• Отсутствие критических точек, так как производная существует на всей области определения.  

• Пример функции y = √x.  

• Область определения: x ≥ 0.  

• Нахождение производной: -1/2√x.  

• Отсутствие стационарных точек, так как уравнение y' = 0 не имеет решений.  

• Производной не существует в точке x = 0, но эта точка не является критической, так как находится на границе области определения.  

• Функция представлена формулой: $y = \frac{2x + 8}{x^2}$.  

• Область определения: $(-\infty, 0) \cup [0, +\infty)$.  

• Дробное выражение не имеет смысла, если $b = 0$, поэтому $x^2 \neq 0$ и $x \neq 0$.  

• Находим производную функции: $y' = \frac{2x^3 - 16}{x^3}$.  

• Приравниваем производную к нулю и решаем уравнение: $x = 2$.  

• Так как $x \neq 0$, $x = 2$ — стационарная точка функции.  

• Проверяем производную в точке $x = 0$.  

• В точке $x = 0$ производная не существует, так как на ноль делить нельзя.  

• Точка $x = 0$ не является внутренней точкой области определения, поэтому её нельзя назвать критической.  

• Ответ: $x = 2$ — стационарная точка, критических точек нет.  

• Объяснение стационарных и критических точек функции завершено.