Трехгранный и многогранный углы

• Многогранный угол - это объединение всех лучей, проходящих через точку о и пересекающих плоский многоугольник а1, а2, а3.  

• Плоские углы многогранного угла называются гранями, а ребрами - лучи, проходящие через вершины многоугольника.  

• Трехгранный угол - это трехгранный угол, образованный треугольной пирамидой о, а1, а2, а3 и продолжением трех ребер, выходящих из одной вершины.  

• Величина любого плоского угла трехгранного угла меньше суммы величин остальных плоских углов.  

• Сумма величин всех плоских углов трехгранного угла меньше 360 градусов или пи.  

• Распространенное заблуждение: второе свойство очевидно, так как сумма трех углов меньше 360 градусов.  

• Доказательство ошибочно, так как ортогональная проекция плоского угла на плоскость может не удовлетворять неравенству.  

• Рассматривается проекция угла б и ц на плоскость.  

• Обсуждается возможность того, что угол б о ц может быть больше угла б ац.  

• Находим наибольшую возможную величину угла б ац.  

• Используем теорему косинусов и неравенство о средних.  

• Ищем минимум косинуса угла, используя неравенство о средних.  

• Приравниваем значения и находим минимум косинуса.  

• Из минимума косинуса находим максимум угла.  

• Получаем, что максимум угла равен аркосиусу.  

• Автор объясняет, что проекция плоского угла не обязательно меньше, чем угол между ортогональными проекциями.  

• Доказывает неравенство, используя тригонометрические функции и теорему косинусов.  

• Автор доказывает, что величина любого плоского трехгранного угла меньше суммы величин остальных плоских углов.  

• Использует теорему косинусов и убывающую функцию косинуса для доказательства.  

• В результате получается, что угол между ортогональными проекциями меньше, чем угол между проекциями.  

• В трехгранном угле, если сумма плоских углов меньше 360 градусов, то существует трехгранный угол с заданными плоскими углами.  

• Если сумма плоских углов меньше 2π, то существует эгранный угол с заданными плоскими углами.  

• Метод геометрического места точек: биекторы двугранных углов пересекаются по одному лучу.  

• Каждая точка этого луча равноудалена от всех трех граней трехгранного угла.  

• В трехгранном угле известны величины плоских углов альфа, бета, гамма.  

• Найти величины двугранных углов а, б, ц.  

• Решение: считать один трехгранный угол и найти двугранный угол ц.  

• Автор объясняет, что для вычисления двугранного угла через плоские углы, необходимо построить линейный угол при ребре сц и использовать прямоугольные и не прямоугольные треугольники.  

• Он также упоминает, что для трехгранных углов существуют две основополагающие конструкции, которые можно использовать для решения задач.  

• Автор объясняет, что первая теорема косинусов используется для нахождения двугранных углов, если известны плоские углы.  

• Он также упоминает, что лучше запомнить, как эта формула получается, а не просто ее запомнить.  

• Автор предлагает задачу для самостоятельного решения, связанную с доказательством второй теоремы косинусов.  

• Он подчеркивает, что формулы не обязательно запоминать, и их можно вывести, если знать, как они получаются.  

• Автор объясняет теорему синусов для трехгранного угла, которая легко запоминается.  

• Он также упоминает, что в геометрическом доказательстве этой теоремы есть некоторые сложности, связанные с перебором случаев и определением углов.  

• Рассматривается трехгранный угол и его проекции на плоскости.  

• Обсуждаются различные случаи и способы выражения углов и проекций.  

• Преподаватель предлагает отвлечься от технической работы и рассмотреть качественные задачи.  

• Задача: доказать, что любой четырехгранный угол можно пересечь плоскостью так, что в сечении получится параллелограмм.  

• Преподаватель объясняет, что плоскости могут быть расположены под разными углами, но это не влияет на доказательство.  

• Доказывается, что через пересекающиеся прямые можно провести плоскость, которая будет пересекать все четыре грани четырехгранного угла.  

• Автор видео вспоминает теорему о том, как две параллельные плоскости пересекают третью плоскость, и утверждает, что это теорема о линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью.  

• Затем автор строит плоскость, которая будет параллельно плоскости альфа, и пересекает четырехгранный угол.  

• Автор объясняет, что линии, образованные плоскостями параллелограмма, параллельны, и что эти прямые также параллельны.  

• Это означает, что получившийся четырехугольник является параллелограммом.  

• Автор подчеркивает, что таких параллелограммов бесконечно много и что они могут быть построены для любой точки, которую можно двигать.  

• Автор напоминает о домашнем задании и предлагает посмотреть полную запись занятия на сайте, если что-то осталось непонятым.  

• Он благодарит зрителей за посещение и прощается до следующего занятия.