ТФКП. Определить область сходимости ряда Лорана. Радиус сходимости. Главная часть и правильная часть

• В видео обсуждается возможность разложения функций в ряд Тейлора в окрестности точки z0, если функция аналитична в этой точке и ее окрестности.  

• Приводится пример разложения экспоненты степени z в окрестности точки z0.  

• В некоторых случаях, например, для функций, значение которых в точке z0 обращается в бесконечность, разложение в ряд Тейлора невозможно.  

• Также невозможно разложение функции единица, деленная на единица плюс z, в окрестности точки z0.  

• Для функций, аналитических в окрестности точки z0, можно построить разложение в ряд Лорана в кольце p < |z-z0| < p-большое.  

• Этот ряд сходится абсолютно в точке z, если сходится главная часть и правильная часть ряда.  

• Ряд Лорана аналитической функции сходится равномерно внутри кольца, если сходятся оба составляющих ряда.  

• Радиусы p малое и p большое, определяющие кольцо сходимости, могут принимать различные значения, включая круг с выколотым центром, проколотую окрестность, внешность окружности и другие варианты.  

• Определяется область сходимости ряда Лорана, который задается суммой по n от 1 до бесконечности экспоненты с показателем i n, деленной на z минус 1 в степени n плюс сумма по n от 0 до бесконечности z минус 1 в степени n, деленной на экспоненту с показателем i n плюс 1/2.  

• Центр разложения равен z = 1, так как z - z = 0.  

• Главная часть ряда Лорана содержит коэффициент с индексом -n, который равен экспоненте с показателем i n.  

• Радиус сходимости главной части ряда Лорана определяется по формуле: предел при n, стремящемся к бесконечности, от отношения c с индексом -n минус 1, деленное на z минус n.  

• Подставляя значения, получаем, что радиус сходимости главной части ряда Лорана равен единице.  

• Правильная часть ряда Лорана содержит коэффициент, равный 1/z, деленный на экспоненту с показателем i n плюс 1/2.  

• Радиус сходимости правильной части ряда Лорана определяется по формуле: предел при n, стремящемся к бесконечности, от отношения коэффициента c n к коэффициенту c n плюс 1.  

• Подставляя значения, получаем, что радиус сходимости правильной части ряда Лорана равен единице.