Теория вероятностей. Доп. семинар.

• Преподаватель обсуждает план решения задач и теоретическую часть, связанную с случайными величинами и вероятностными пространствами.  

• Упоминается функция распределения и ее связь с мерами на прямой.  

• Функция распределения непрерывна справа и неубывающая.  

• Левый предел функции распределения равен нулю, а правый - единице.  

• Функция распределения соответствует некоторой мере на прямой.  

• Функция распределения определена на пространстве элементарных исходов и действует на отрезке [0, 1].  

• Функция распределения может быть задана на эксперименте, где мера распределена на пространстве элементарных исходов.  

• Функция распределения соответствует мере на прямой.  

• В видео обсуждается классификация случайных величин, включая дискретные, абсолютно непрерывные и сингулярные.  

• Приводится пример дискретной случайной величины - распределение Бернуля.  

• Обсуждается плотность распределения, ее основные свойства и связь с функцией распределения.  

• Приводится пример сингулярной случайной величины - лестница Кантора.  

• Обсуждается вопрос о том, как найти плотность случайной величины, если она изначально была плотностью.  

• В видео обсуждается плотность случайной величины, которая определяется как производная функции распределения.  

• Если функция распределения обладает определенными свойствами, такими как непрерывность, строго монотонность и дифференцируемость, то плотность можно найти, продифференцировав функцию распределения.  

• Математическое ожидание случайной величины определяется как интеграл от функции распределения.  

• В случае абсолютно непрерывных случайных величин математическое ожидание определяется как интеграл Лебега.  

• В случае смеси дискретной и абсолютно непрерывной случайных величин математическое ожидание может быть представлено как сумма математических ожиданий каждой компоненты.  

• В видео обсуждается теорема, которая утверждает, что математическое ожидание функции случайной величины равно сумме математического ожидания функции от непрерывной составляющей и математического ожидания функции от дискретной составляющей.  

• Эта теорема используется для решения задачи 17 ЕГЭ по математике.  

• В видео объясняется, что для корректного вычисления математического ожидания случайной величины, необходимо разбить ее на области непрерывности и дискретные составляющие.  

• Это делается для того, чтобы корректно посчитать плотность случайной величины.  

• В конце видео автор отвечает на вопросы зрителей и объясняет, почему в теореме используются слагаемые для дискретной составляющей.  

• Он также упоминает, что вероятность точки в дискретной составляющей может быть отрицательной, что приводит к появлению дополнительных слагаемых в определении математического ожидания.  

• Обсуждение условий задачи и поиск функции распределения икс в квадрате.  

• Нахождение плотности икс в квадрате и математического ожидания максимума икс в квадрате игрек.  

• Интегрирование исходной плотности и нахождение функции распределения.  

• Обсуждение двух способов решения задачи: интегрирование исходной плотности или использование функции распределения.  

• Нахождение математического ожидания максимума икс в квадрате игрек.  

• Обсуждение двух случаев: икс больше нуля и икс меньше нуля.  

• Нахождение интеграла от минус бесконечности до т исходной плотности.  

• Нахождение математического ожидания максимума икс в квадрате игрек.  

• Находят функцию распределения икта и их в квадрате, используя выражение, полученное ранее.  

• Проверяют, что функция распределения выглядит правильно.  

• Находят математическое ожидание максимума икс в квадрате игрек, используя определение функции распределения.  

• Переходят к дополнению событий и разложению в произведении вероятностей.  

• Показывают схематичный график функции распределения.  

• Обсуждают дискретную точку и две области непрерывности.  

• Записывают интеграл от нуля до трех и производную функции распределения.  

• Считают скачок и непрерывную часть функции распределения.  

• Получают ответ на задачу.  

• Видео объясняет, что случайный вектор - это измеримое отображение из исходного пространства в инверсное пространство.  

• Каждая компонента вектора является случайной величиной.  

• Определение совместного распределения случайных величин в инмерном пространстве: вероятность определяется на баррельских прямоугольниках.  

• Функция распределения - это многомерная функция, которая задает вероятности для всех уголков в пространстве.  

• Определение независимости случайных величин: вероятность того, что все компоненты вектора принадлежат одному и тому же баррельскому множеству, распадается на произведение вероятностей.  

• Если функции распределения совместно распадаются в произведениях, то случайные величины независимы.  

• Обсуждается независимость случайных величин, когда совместная функция распределения двух случайных величин распадается на произведение функций распределения.  

• Доказывается, что если для всех множеств верно, то и для всех множеств будет верно.  

• Вводится понятие плотности случайных величин, которая обладает теми же свойствами, что и функция распределения.  

• Формулируется критерий независимости в терминах плотностей: две случайные величины независимы, если их совместная плотность распадается в произведении плотностей.  

• Обсуждается, как найти плотность каждой случайной величины, если известна совместная плотность.  

• Доказывается, что вероятность события равна интегралу от плотности.  

• Формулируется теорема о замене переменных в интеграле, которая позволяет находить плотность от преобразования случайных величин.  

• Требование: функция должна быть диффеморфизмом, то есть непрерывно дифференцируемой.  

• Задача состоит в нахождении совместной плотности случайных величин, которые имеют экспоненциальное распределение с параметром лямда.  

• Сначала находят совместную плотность исходных случайных величин, затем делают замену переменных и получают совместную плотность новых случайных величин.  

• Обсуждают, что из-за замены переменных, вероятности остаются корректными.  

• Собирают ответ в более правильной форме, учитывая, что в принадлежит от 0 до 1 и не отрицательно.  

• В итоге получают совместную плотность новых случайных величин, которая является непрерывной относительно меры в р2.  

• Плотность суммы двух случайных величин распадается в произведение плотностей.  

• Плотность суммы двух экспоненциальных случайных величин равна гамма-распределению с параметрами 2 и лямда.  

• Задача связана с экспоненциальными и гамма-распределениями.  

• Доля времени, которую вы будете ждать первую электричку, имеет равномерное распределение, если вы ждете две электрички суммарно.  

• Формула свертки позволяет найти плотность суммы двух случайных величин.  

• Доказательство того, что сумма независимых экспоненциальных случайных величин имеет гамма-распределение с параметрами 2 и лямда, можно провести с помощью формулы свертки.  

• Задача состоит в определении вероятности того, что два человека проголосуют до обеда, если они голосуют независимо и равномерно в течение дня.  

• Решение основано на использовании геометрического распределения и совместной плотности случайных величин.  

• В усложненной задаче икс имеет нормальное распределение, а игрек - экспоненциальное с параметром 1.  

• Задача разбивается на три части для упрощения расчета.  

• В результате решения получается, что вероятность события равна отношению площади под кривой совместной плотности к площади всего квадрата 24 на 24.  

• В видео обсуждаются интегралы и их применение к случайным величинам.  

• Упоминается, что плотность может быть записана в виде интеграла, и это не пугает.  

• Задача заключается в нахождении ковариации случайных величин, которые независимы и имеют стандартное нормальное и равномерное распределения.  

• Решение задачи включает в себя вычисление трех интегралов.  

• В видео обсуждаются различные способы вычисления интегралов и их применение к случайным величинам.  

• Упоминается, что иногда можно просто считать математическое ожидание функции от случайного вектора, без необходимости вычисления плотности.  

• Обсуждение интегралов и плотности случайных величин.  

• Вычисление интеграла от плотности и его связь с математическим ожиданием.  

• Решение задач на интегралы и плотности.  

• Обсуждение различных подходов к решению задач и их эквивалентности.  

• Обсуждение зависимости случайных величин и их корреляции.  

• Объяснение, что корреляция не гарантирует независимость случайных величин.