✓ Критерий Коши сходимости числовых последовательностей | матан #013 | Борис Трушин |

• Обсуждение критериев Каши и их неформальный подход.  

• Цель - понимание, а не формальное следование строкам доказательства.  

• Введение в понятие фундаментальной последовательности.  

• Определение фундаментальной последовательности: для любого эпсилон найдется номер, начиная с которого любые два члена отличаются меньше, чем на эпсилон.  

• Критерий Каши: фундаментальность равносильна сходимости.  

• Сходимость последовательности означает, что начиная с некоторого номера все члены лежат в интервале длины эпсилон.  

• Доказательство в одну сторону: из сходимости следует фундаментальность.  

• Если последовательность имеет конечный числовой предел, то начиная с некоторого номера все члены лежат в интервале длины эпсилон.  

• Доказательство в другую сторону: сложнее показать, что фундаментальность следует из сходимости.  

• Теорема Бальца-Верштрасса: если последовательность ограничена, то из нее можно выделить сходящуюся под-последовательность.  

• Ограниченность последовательности: если начиная с некоторого номера все члены лежат в интервале, то последовательность ограничена.  

• Выделение сходящейся под-последовательности из ограниченной последовательности.  

• Доказательство, что предел под-последовательности является пределом исходной последовательности.  

• Для любого эпсилон существует номер, начиная с которого все члены последовательности отличаются от предела меньше, чем на эпсилон.  

• Заключение: понимание фундаментальной последовательности и ее связи со сходимостью.  

• Предел последовательности равен значению a, если для любого epsilon существует номер n, начиная с которого все члены последовательности отличаются от a меньше, чем на 2epsilon.  

• Это означает, что для любого epsilon найдется номер n, начиная с которого члены последовательности отличаются от a меньше, чем на epsilon.  

• Фундаментальность последовательности эквивалентна сходимости.  

• Часто формулировка фундаментальности включает условие, что для любого epsilon существует номер n, начиная с которого выполняется неравенство для всех натуральных p.  

• Перестановка условия в начало не меняет сути утверждения.  

• Приводится пример слабо растущей последовательности, которая удовлетворяет условию, но не имеет предела.  

• Пример: последовательность, состоящая из корней из натуральных чисел, где n и p фиксированы.  

• Показано, что для такой последовательности неравенство выполняется, но предел отсутствует.  

• Условия фундаментальности и сходимости не являются равносильными.  

• Важно аккуратно переставлять кванторы в утверждениях, чтобы не изменять их смысл.  

• Автор завершает видео, призывая задавать вопросы и подписываться на канал.