Лекция №10. Симметричные билинейные формы. Знакоопределенные формы и индексы инерции

• Билинейная форма - это отображение, ставящее упорядоченной паре векторов число.  

• Для комплексного пространства это называется полуторалинейной формой.  

• Билинейность означает линейность по каждому из аргументов.  

• Множество всех билинейных форм обозначается как B.  

• Если зафиксировать базис в пространстве, билинейная форма получает матрицу B.  

• Матрица B содержит значения билинейной формы на парах базисных векторов.  

• Угловая подматрица Bk размера k на k имеет смысл сужения билинейной формы на подпространство U.  

• Сужение - это отображение, позволяющее аргументам быть векторами из подпространства U.  

• Любая подматрица в левом верхнем углу является матрицей сужения.  

• Доказана теорема, эквивалентная определению матрицы и линейной формы.  

• Выведена формула для вычисления билинейной формы в матричном виде.  

• Формула компактна и удобна для вычислений.  

• Формула эквивалентна определению билинейной формы.  

• Пример с базисными векторами показывает, как можно сопоставить формулу и определение.  

• В некоторых ситуациях удобнее использовать определение.  

• Билинейная форма при фиксации базиса получает матрицу размера n x n.  

• По матрице можно восстановить билинейную форму.  

• Проверка линейности по первому аргументу подтверждает корректность формулы.  

• Взаимно-однозначное соответствие между билинейными формами и квадратными матрицами.  

• Билинейные формы можно складывать и умножать на константы.  

• Это соответствие является изоморфизмом векторных пространств.  

• Соответствие зависит от базиса.  

• При смене базиса матрица билинейной формы меняется.  

• Теорема о замене базиса устанавливает связь между матрицами в разных базисах.  

• Матрица перехода связывает два базиса.  

• Формула для преобразования матрицы билинейной формы при смене базиса.  

• Преобразование отличается от линейных преобразований.  

• Определитель матрицы может меняться при смене базиса.  

• Знак определителя сохраняется при смене базиса.  

• Определители связаны умножением на положительную константу.  

• Симметричная билинейная форма сохраняет значение при перестановке аргументов.  

• В комплексном случае форма называется эрмитово-симметричной.  

• Множество всех симметричных билинейных форм обозначается как B.  

• Симметричная билинейная форма соответствует симметричной матрице.  

• В комплексном случае матрица называется эрмитово-симметричной.  

• Доказательство: транспонирование матрицы приводит к комплексному сопряжению элементов.  

• Вычисление значений симметричной формы для произвольной пары векторов.  

• Использование транспонирования для упрощения формул.  

• Доказательство равенства матриц для симметричной формы.  

• Квадратичная форма соответствует симметричной билинейной форме.  

• Пример: преобразование билинейной формы в квадратичную.  

• Матричное представление квадратичной формы.  

• Симметричные билинейные формы и квадратичные формы находятся во взаимно-однозначном соответствии.  

• Доказательство: квадратичная форма однозначно определяет симметричную билинейную форму.  

• В комплексном пространстве доказательство требует учета сопряжения.  

• Переход к следующему разделу: диагональный и канонический вид.  

• Билинейная форма имеет диагональный вид в базисе, если её матрица диагональная.  

• Диагональные элементы вещественны, даже если пространство комплексное.  

• В координатной записи квадратичная форма записывается как сумма квадратов модулей с коэффициентами.  

• Канонический вид достигается, если диагональные элементы равны 1, 0 или -1.  

• От диагонального вида легко перейти к каноническому через замену координат.  

• Пример: замена координат приводит к каноническому виду с коэффициентами 1, 0 и -1.  

• Существует базис, в котором квадратичная форма имеет диагональный вид.  

• Доказательство включает последовательное выделение полных квадратов.  

• Матричное доказательство: преобразование матрицы через двойные элементарные преобразования.  

• Преобразование матрицы через домножение на невырожденную матрицу.  

• Двойные элементарные преобразования строк и столбцов.  

• Пример: прибавление второй строки к первой строке и столбцу.  

• Если на диагонали все элементы нули, перестановки строк не помогут.  

• Решение: предварительное преобразование строк и столбцов для получения ненулевого элемента на диагонали.  

• Метод позволяет вести протокол изменения базиса.  

• Квадратичная форма называется положительно определенной, если её значение на любом не нулевом векторе строго больше нуля.  

• Аналогично определяются отрицательно определенная, положительно полуопределенная и отрицательно полуопределенная формы.  

• Если квадратичная форма имеет диагональный вид, то определить её тип можно легко.  

• Форма положительно определена, если все диагональные элементы больше нуля.  

• Аналогично для положительно полуопределенной и отрицательно определенной форм.  

• Если все диагональные элементы больше нуля, то форма положительно определена.  

• Если хотя бы один диагональный элемент равен нулю, то форма не является положительно определенной.  

• Пример формы, которая не является ни положительно, ни отрицательно определенной.  

• Если форма положительно определена, то определитель её матрицы строго больше нуля.  

• Это утверждение справедливо для любого базиса, даже если матрица не диагональная.  

• Однако, это условие не является достаточным для определения положительно определенной формы.  

• Индекс инерции квадратичной формы — это максимальное количество положительных диагональных элементов.  

• Если форма положительно определенная, то её индекс инерции равен размерности пространства.  

• Если форма отрицательно определенная, то её индекс инерции равен нулю, кроме нулевого подпространства.  

• Если квадратичная форма имеет диагональный вид, то её положительный индекс инерции равен количеству положительных диагональных элементов.  

• Отрицательный индекс инерции — это количество отрицательных диагональных элементов.  

• Сумма индексов инерции равна рангу формы и является инвариантом при изменении базиса.  

• Переобозначаем базисные векторы, чтобы первые несколько d были положительными.  

• Цель: доказать, что p равно p', где p' - количество положительных d.  

• p ≥ p', так как первые p' d положительны.  

• Рассматриваем подпространство, суженное на первые p' векторов.  

• Сужение квадратичной формы на это подпространство положительно определено.  

• Если p > p', то существует подпространство размерности p, сужение на которое положительно определено.  

• Рассматриваем подпространство, натянутое на последние n - p' векторов.  

• Сужение на это подпространство отрицательно полуопределено.  

• Сумма размерностей этих подпространств больше n.  

• Подпространства имеют нетривиальное пересечение.  

• Противоречие: если вектор принадлежит пересечению, то сужение на одно из подпространств положительно определено, что невозможно.  

• Формулируем теорему о признаке положительной определенности.  

• Если матрица симметрична и имеет диагональный вид, то легко определить, положительно ли она определена.  

• Если матрица не диагональная, то можно использовать критерий Сильвестра.  

• Матрица положительно определена, если все определители угловых подматриц больше нуля.  

• Критерий Сильвестра эквивалентен положительной определенности.  

• Критерий не равноправен между базисными векторами, но полезен для проверки.