Сердобольская М. Л. - Теория вероятностей - Условная вероятность

• Обсуждение независимости событий и их вероятностей.  

• Определение независимости событий в совокупности.  

• Введение свойства независимости событий.  

• Условие независимости событий не влечет за собой равенство парное.  

• Пример с пустым множеством и совпадающими событиями.  

• Тройное равенство не влечет за собой двойное равенство.  

• Пример с правильным тетраэдром и его гранями.  

• Определение событий, связанных с гранями тетраэдра.  

• Вероятности событий и их попарная независимость.  

• Событие с нулевой вероятностью независимо от любого другого события.  

• Событие с единичной вероятностью также независимо от любого другого события.  

• Доказательство независимости событий с нулевой и единичной вероятностью.  

• Независимые события: если а и б независимы, то не а и не б также независимы.  

• Это утверждение вытекает из тривиальных свойств вероятности.  

• Пример: если а и б независимы, то вероятность их пересечения равна произведению вероятностей каждого события в отдельности.  

• Независимость сохраняется при добавлении черточки над одним из событий.  

• Пример: если а и б независимы, то не а и не б также независимы, и наоборот.  

• Независимость событий определяется вероятностной мерой, а не самими событиями.  

• Доказать независимость абстрактных событий невозможно, так как это зависит от реальной физической ситуации.  

• Если независимость задана, можно получать следствия, но априори доказать её невозможно.  

• Рассматриваются две случайные величины на вероятностном пространстве.  

• Независимые случайные величины определяются как функции, для которых совместная функция распределения равна произведению функций распределения.  

• Независимость случайных величин эквивалентна независимости событий, связанных с этими величинами.  

• Для множества случайных величин на одном вероятностном пространстве используется аналогичное определение независимости.  

• Совместная функция распределения для множества величин равна произведению функций распределения для каждой величины.  

• Это определение проще, чем для независимых событий, так как требует только одного равенства вместо множества.  

• Для нахождения функции распределения одной случайной величины из совместной функции распределения используется предельный переход.  

• Предельный переход позволяет исключить влияние более высокоразмерных функций на более низкоразмерные.  

• Это упрощает определение независимости случайных величин, так как достаточно одного равенства для всех величин.  

• Для дискретных распределений вероятность события равна произведению вероятностей для независимых величин.  

• Для абсолютно непрерывных распределений совместная плотность факторизуется, что приводит к произведению плотностей для независимых величин.  

• Эти свойства сохраняются независимо от типа распределения: дискретное или абсолютно непрерывное.  

• Независимость случайных величин будет использоваться в дальнейших теоремах.  

• Переход к изучению условных вероятностей и условных распределений.  

• Рассматривается абстрактное вероятностное пространство и событие B.  

• Событие B имеет ненулевую вероятность.  

• Строится новое вероятностное пространство с множеством элементарных исходов, алгеброй подмножеств и вероятностью.  

• Множество элементарных исходов сокращается до тех, которые влекут событие B.  

• Задается сигма-алгебра подмножеств, включающая пересечения множеств из исходной сигма-алгебры с событием B.  

• Вероятность события A при условии B определяется как отношение вероятности пересечения A и B к вероятности события B.  

• Новое вероятностное пространство называется условным вероятностным пространством при условии события B.  

• Условная вероятность обозначается как P A|B.  

• Палочка в обозначении подчеркивает параметр вероятности B.  

• Новое вероятностное пространство удовлетворяет всем аксиомам вероятности.  

• Аксиома A0: сигма-алгебра подмножеств события B.  

• Аксиомы A1-A4: неотрицательность, нормировка, счетная аддитивность.  

• Условная вероятность объясняет, как вероятность события A при условии события B зависит от вероятности события B.  

• Условная вероятность - это математическая конструкция, основанная на частотной интерпретации.  

• Вероятность события А равна доле случаев, когда событие А происходит среди всех повторений эксперимента.  

• Условная вероятность события А при условии события Б - это доля случаев, когда событие А происходит среди случаев, когда событие Б произошло.  

• Условная вероятность идентична безусловной вероятности по своим свойствам.  

• Все формулы для безусловной вероятности применимы и к условной вероятности.  

• Условная вероятность не имеет исключений ни в одну, ни в другую сторону.  

• Формула полной вероятности утверждает, что вероятность события А равна сумме вероятностей события А при условии каждого из событий Б1, Б2, ..., Бn.  

• Условия для событий: Б1 ∩ Б2 = ∅, Б1 + Б2 + ... + Бn = Ω, и вероятность пересечения не равна нулю.  

• Доказательство формулы полной вероятности включает использование дистрибутивности и аддитивности вероятности.  

• Условие, что вероятность пересечения не равна нулю, можно ослабить.  

• Условие, что Б1 + Б2 + ... + Бn = Ω можно заменить на более слабое условие, что вероятность суммы событий равна единице.  

• Эти ослабления условий не сильно меняют формулу, но иногда могут быть удобнее.  

• Формула Байеса утверждает, что вероятность события Б при условии события А равна вероятности события А при условии события Б, деленной на вероятность события А.  

• Формула Байеса используется в основном для событий из полной группы и играет важную роль в теории вероятности и математической статистике.  

• Байесовские методы основаны на этой формуле и позволяют принимать решения в неопределенных ситуациях.  

• Условные вероятности часто используются в повседневной жизни, например, при сдаче экзамена.  

• Эти вероятности помогают принимать решения в ситуациях, когда события А и Б не происходят одновременно.  

• Рассматривается событие получения оценки "пять" на экзамене.  

• Вероятность получения "пять" определяется как доля студентов, получивших "пять" среди всех студентов.  

• Студенты ориентируются на вероятность получения "пять" у конкретного преподавателя.  

• Студенты используют априорные сведения об условных вероятностях для принятия решений.  

• Условные вероятности помогают принимать решения в условиях неопределенности.  

• Пример с экзаменом иллюстрирует практическое применение условных вероятностей.  

• Рассматриваются случайные величины на вероятностном пространстве.  

• Условная функция распределения задается для события "б".  

• Конструкция условных распределений часто используется для ассоциированных случайных величин.  

• Рассматриваются дискретные распределения случайных величин.  

• События образуют полную группу, и суммарная вероятность равна единице.  

• Определяется условная вероятность и условное распределение.  

• Формула полной вероятности связывает условное и безусловное распределения.  

• Формула Байеса используется для пересчета одного условного распределения в другое.  

• Вероятность определяется как частное от общего.  

• Для непрерывных распределений условные вероятности могут быть нулевыми.  

• Проблема построения условных вероятностей для событий с нулевой вероятностью будет рассмотрена в следующий раз.