Практика 5. Жорданова форма, жорданов базис.

• Рассматривается задача нахождения Жордановой формы матрицы линейного оператора.  

• Алгоритм включает нахождение характеристического уравнения и собственных значений.  

• Определяется структура Жордановой формы и максимальное число м.  

• Нахождение степени матрицы, при которой её ранг совпадает с м минус кратность соответствующего ряда.  

• Если данных недостаточно, проводятся дополнительные исследования.  

• Нахождение Жордановой формы матрицы.  

• Нахождение собственных векторов, с которых начинается Жорданова цепочка.  

• Построение Жордановых цепочек, начиная с первого собственного вектора.  

• Если векторов недостаточно, добавляются новые из подпространства.  

• Рассматривается задача нахождения Жордановой формы и базиса для матрицы линейного оператора.  

• Нахождение характеристического уравнения и собственных значений.  

• Определение максимальной длины Жордановой цепочки.  

• Максимальная длина Жордановой цепочки равна трем.  

• Построение Жордановой формы матрицы с точностью до перестановки блоков.  

• Запись Жордановой формы матрицы.  

• Нахождение собственных векторов, лежащих на пересечении подпространств.  

• Выбор базисного вектора подпространства р-1.  

• Проверка вектора на принадлежность к собственным векторам.  

• Проверка вектора на принадлежность к собственным векторам.  

• Вектор три один, три-один рассматривается как первый вектор Жордановой цепочки.  

• Присоединенные вектора к несобственному вектору находятся как: a-lambda*e*a2 = a1 и a-lambda*e*a3 = a2.  

• Количество собственных векторов совпадает с размерностью соответствующего блока.  

• Задача - решить две системы одновременно, чтобы найти вектор a2, удовлетворяющий обеим системам.  

• Вектор a1 найден как пересечение.  

• Первая система: 0-2, 0-1, 3-3, -7-3, -4-4 = 0-0, 0-0, 3-13, 3-7.  

• Вторая система: 0-3, 0-3, -2-7, 0-12, 0-3, 0-3, -1-4, 0-7 = 0-1, 0-1, 0-1, 0-1.  

• Вектор a2 должен удовлетворять обеим системам.  

• Линейная зависимость между первой и третьей строками.  

• Ран матрицы равен двум, что требует взаимосвязи между координатами.  

• Использование элементарных преобразований для нахождения взаимосвязи.  

• Главный элемент - x1 и x4.  

• Вектор a2: x1 = 3*alpha, x2 = 2*beta - alpha, x3 = 3*alpha, x4 = beta.  

• Решение системы уравнений для нахождения alpha и beta.  

• Вектор a3: 1, 0, 0, 0.  

• Вектор a2 найден, система совместна.  

• Вектор a3 найден как решение системы.  

• Выбор вектора a3, не принадлежащего подпространству собственных векторов.  

• Вектор a2 найден умножением вектора a3 на матрицу.  

• Вектор a1 - собственный вектор, с которого начинается цепочка.  

• Вектора можно искать любым способом, сохраняя порядок следования.  

• Для дальнейших вычислений рассматриваются вектора, полученные первым способом.  

• Рассматриваются два способа нахождения базиса.  

• Проверяется, достаточно ли трех векторов для базиса всего пространства.  

• На следующем этапе рассматривается пересечение подпространств.  

• Рассматривается пересечение подпространства столбцов матрицы в степени m минус два.  

• Матрица имеет ранг два, выбираются два ненулевых столбца.  

• Векторы обозначаются как c1 и c2.  

• Вектор x раскладывается с константами gamma1 и gamma2 по векторам c1 и c2.  

• Вектор x раскладывается с теми же константами по векторам c1 и c2.  

• Составляется однородная система для нахождения констант.  

• Переносим часть равенства в одну сторону и решаем однородную систему.  

• Получаем матрицу системы и неизвестные решения gamma1, gamma2, beta1, beta2.  

• Приводим матрицу к верхнему диагональному виду.  

• Умножаем и складываем элементы матрицы для получения значений.  

• Получаем линейно зависимую строку, которая удаляется.  

• Находим значения gamma1, gamma2, beta1, beta2.  

• Подставляем найденные значения в уравнение для вектора x.  

• Получаем вектор пересечения подпространств.  

• Вектор совпадает с собственным вектором, что не подходит для базиса.  

• Рассматривается пересечение подпространства столбцов единичной матрицы и собственных векторов.  

• В качестве четвертого базисного вектора берется любой из собственных векторов.  

• Получен базис, в котором матрица линейного оператора имеет жорданову форму.  

• Записывается матрица перехода от старого базиса к новому.  

• Матрица перехода состоит из столбцов координат нового базиса.  

• Важно записывать вектора в порядке следования в цепочке жордановой формы.  

• Получена матрица, переводящая матрицу в жорданову форму.  

• Записана жорданова форма и получен жорданов базис.  

• Пожелание удачи в решении задач.