Лекция №11. Евклидово и унитарное пространство. Ортогональные системы

• Вспоминают понятие билинейной формы и ее координатной записи.  

• Вспоминают взаимнооднозначное соответствие между симметричными билинейными формами и квадратичными формами.  

• Вспоминают, что квадратичная форма может быть приведена к диагональному виду.  

• Доказывают теорему об индексах инерции и критерии положительной определенности квадратичной формы.  

• Вспоминают определение положительно определенной квадратичной формы и вариации.  

• Формулируют критерий Сильвестра для определения положительно определенной квадратичной формы.  

• Доказывают критерий Сильвестра, используя инвариантные свойства положительно определенных квадратичных форм.  

• Рассматривается квадратичная форма на пространстве размерности m.  

• Положительный индекс инерции формы равен m-1.  

• В некоторых базисах форма имеет положительный определитель, в других - отрицательный.  

• Люди иногда ошибочно полагают, что положительно определенная форма имеет положительный определитель.  

• Отрицательно определенная форма может быть определена как форма, для которой минус-форма является положительно определенной.  

• Евклидово пространство - это пара-векторное пространство с билинейной симметрично положительно определенной формой.  

• Скалярное произведение - это билинейная симметричная положительно определенная форма.  

• Длина вектора - это значение квадратичной формы, больше или равно нулю.  

• Ортогональные векторы - это векторы, для которых скалярное произведение равно нулю.  

• Матрица Грамма является положительно определенной матрицей, что означает, что ее определитель больше нуля.  

• Если система векторов линейно зависима, то определитель матрицы Грамма равен нулю.  

• Неравенство Каши-Буковского утверждает, что произведение длин векторов больше или равно модулю их скалярного произведения.  

• Определение угла между векторами основано на неравенстве Каши-Буковского.  

• Евклидово пространство может быть представлено как координатное n-мерное пространство с вещественными или комплексными числами.  

• Квадратичные формы могут быть использованы для описания метрики и длин в многомерных евклидовых пространствах.  

• Ортогональная система - это набор векторов, для которых попарные скалярные произведения равны нулю.  

• Ортогональная система может быть ортонормированной, если все векторы имеют длину 1.  

• Ортогональные системы всегда линейно независимы.  

• Изоморфизм - это отображение между евклидовыми пространствами, которое сохраняет скалярное произведение.  

• Если два евклидовых пространства изоморфны, то их размерности совпадают.  

• Подпространство евклидова пространства называется ортогональным, если оно образует ортогональную систему.  

• Если подпространства ортогональны, то их сумма является прямой суммой.