Гамма-функция и бета-функция: вывод основных соотношений

• Гамма-функция и бета-функция связаны с факториалом.  

• Факториал определяется как произведение всех чисел от 1 до n.  

• Вопрос: можно ли продлить функцию факториала для получения промежуточных значений?  

• n! = n * n-1!  

• Вопрос: существует ли функция, обладающая таким свойством для всех чисел?  

• Гамма- и бета-функции связаны с именем Леонарда Эйлера.  

• Гамма-функция имеет важные интегральные свойства.  

• Цель видео: получение основных свойств и соотношений для гамма- и бета-функций.  

• Бета-функция определяется как интеграл от 0 до 1 от t^a-1 * 1-t^b-1.  

• Интеграл сходится при a и b больше нуля.  

• Замена: корень из t = sin φ, что приводит к интегралу от 0 до π/2.  

• Замена: t = sin^2 φ, что приводит к интегралу от 0 до π/2 от 2 * sin φ^2 * cos φ^2.  

• Интеграл позволяет находить интегралы с корнями и тригонометрическими функциями.  

• Пример: a = b = 1/2, что приводит к интегралу от 0 до π/2 от 2 * sin φ, что равно π.  

• Вопрос: как найти значения бета-функции для других значений a и b?  

• Гамма-функция определяется как интеграл от 0 до ∞ от t^a-1 * e^-t.  

• Интеграл сходится при a больше нуля.  

• Применение метода интегрирования по частям для гамма-функции.  

• Гамма от a+1 = a * гамма от a.  

• Гамма-функция обладает свойством факториала для любых чисел.  

• Пример: гамма от 1 равна 1, гамма от 2 равна 1 * гамма от 1, что равно 2!  

•   

• Замена переменных: x = rcosφ, y = rsinφ, dxdy = rrdφ.  

• Пределы интегрирования: r от 0 до ∞, φ от 0 до π/2.  

• Преобразование интеграла: e^−x^2−y^2 = e^−r^2.  

• Внешний интеграл по φ от 0 до π/2, внутренний интеграл по r от 0 до ∞.  

• Вынесение косинуса и синуса из внутреннего интеграла.  

• Преобразование в произведение двух интегралов.  

• Сравнение интегралов с бета- и гамма-функциями.  

• Формула: βa,b = ΓaΓbΓa+b.  

• Симметричность формулы относительно перестановки аргументов.  

• Пример: β1/2,1/2 = Γ1/2Γ1/2Γ1 = π.  

• Значение гамма-функции для различных аргументов.  

• Интеграл Эйлера-Пуассона и его значение.  

• Значения гамма-функции для положительных полуцелых аргументов.  

• Формула для гамма-функции: Γn+1/2 = 2n факториал / 4n факториал n факториал.  

• Полный набор точных значений гамма-функции.  

• Замена переменных в интеграле для бета-функции.  

• Преобразование интеграла и получение формулы дополнения.  

• Формула дополнения для гамма-функции.  

• Получены три интегральных представления для бета-функции.  

• Доказаны свойства бета-функции, позволяющие менять местами аргументы.  

• Найдена связь между бета-функцией и гамма-функцией.  

• Получены два интегральных представления для гамма-функции.  

• Доказаны два главных свойства гамма-функции.  

• Найдены формулы для всех известных точных значений гамма-функции для положительных аргументов.  

• Призыв к подписке на канал для просмотра других видео.