Лекция 11. Функции нескольких переменных. Основные определения. Предел ФНП.

• Определение функции двух переменных.  

• Функция двух переменных ставит в соответствие каждой упорядоченной паре чисел икс и игрек определенное число зет.  

• Пример функции: икс-квадрат плюс синус от икс умножить на игрек.  

• Множество пар чисел икс и игрек, для которых определено значение зет, называется областью определения функции.  

• Пример: функция икс-квадрат плюс игрек в четвертой степени имеет область определения для всех значений икс и игрек.  

• Пример: функция корень из икс плюс один плюс игрек имеет область определения икс больше или равно минус единица и игрек любое число.  

• График функции двух переменных изображается как поверхность.  

• Для каждой точки на плоскости икс-игрек сопоставляется значение зет по соответствующему правилу.  

• Пример: точка п сопоставляется точке м, что создает поверхность.  

• Линия уровня функции двух переменных определяется как множество точек, для которых зет равно постоянному значению.  

• Геометрически это множество точек, для которых третья координата зет равна определенному числу.  

• Пример: проведение плоскости зет равная а через точку на поверхности создает кривую, которая является линией уровня.  

• Определение функции одной переменной и её пределов.  

• Введение в функции двух и трёх переменных.  

• Определение эпсилон-окрестности для функции двух переменных.  

• Определение эпсилон-окрестности точки для функции двух аргументов.  

• Пример на плоскости для иллюстрации.  

• Запись неравенства для эпсилон-окрестности.  

• Определение предела функции при стремлении к точке.  

• Условие существования предела для функции двух переменных.  

• Обозначение предела функции двух переменных.  

• Арифметические свойства пределов функций нескольких переменных.  

• Примеры вычисления пределов для функций двух переменных.  

• Проверка существования пределов и их значений.  

• Пример вычисления предела функции при стремлении к точке.  

• Проверка по определению предела.  

• Пример с функцией, стремящейся к нулю при стремлении к началу координат.  

• Рассматривается функция f от x, y, равная x^2 - y^2 / x^2 + y^2.  

• Функция определена везде, кроме точки 0,0, где возникает деление на ноль.  

• В точке 0,0 функция не имеет предела.  

• Предел функции означает, что для любого эпсилон можно найти дельта, при котором функция попадает в окрестность точки предела.  

• В точке 0,0 функция не имеет предела, так как разные приближения к этой точке дают разные значения.  

• Рассматривается приближение к точке 0,0 по биссектрисе первой координатной четверти.  

• При x стремящемся к нулю, y также стремится к нулю, что приводит к нулю в числителе и знаменателе.  

• Разные приближения к точке 0,0 дают разные значения предела.  

• Функция непрерывна в точке, если она определена в этой точке и её предел равен значению функции в этой точке.  

• Геометрически это означает, что координата z точки графика неограниченно приближается к значению функции в точке 0,0.  

• Функция может быть разрывной в точке, если она определена в окрестности точки, но не определена в самой точке или имеет предел, отличный от значения функции в этой точке.  

• Примеры разрывных функций включают константу и функцию, определенную во всех точках, кроме прямой y = -2x.  

• Рассматривается функция z = x^2 - y^2, определенная при x ≠ 0 и y ≠ 0.  

• Функция определена во всех точках плоскости, но разрывна в точке 0,0.  

• Точка 0,0 является точкой разрыва.  

• Вспоминаются понятия внутренних и граничных точек множества.  

• Внутренняя точка принадлежит множеству, если ее окрестность состоит только из точек множества.  

• Граничная точка содержит как точки множества, так и точки за его пределами.  

• Открытое множество состоит только из внутренних точек.  

• Связанное множество позволяет соединить любые две точки непрерывной линией, состоящей из точек множества.  

• Множество называется областью, если оно связано и открыто.  

• Замкнутая область включает граничные точки.  

• Ограниченное множество имеет окрестность с радиусом эпсилон, содержащую все точки множества.  

• Замкнутая ограниченная область называется компактной.  

• Функция непрерывна в области, если она непрерывна для всех точек этой области.  

• Непрерывная функция на компактной области ограничена и принимает наибольшее и наименьшее значение.  

• Теорема о промежуточных значениях утверждает, что для любых двух точек и числа между ними существует точка, где функция принимает это значение.