Комбинаторика для начинающих с примерами | Лекция преподавателя МГУ

• Теория вероятности и математическая статистика базируются на математике.  

• Алфавит теории вероятности - комбинаторика.  

• Комбинаторика позволяет оценивать вероятности случайных событий.  

• Комбинаторика изучает комбинации элементов по определенным правилам.  

• Пример: выборка трех шаров из пяти.  

• Комбинаторный объект - подмножество элементов с общими свойствами.  

• Комбинаторное число - количество комбинаторных объектов с общим признаком.  

• Пример: выборка из трех шаров из пяти.  

• Перебор всех возможных комбинаций для небольших чисел.  

• Правило суммы: разбиение множества на непересекающиеся части.  

• Пример: составление чисел из пяти цифр, содержащих не менее трех цифр.  

• Правило произведения: разбиение на подмножества и умножение их количества.  

• Пример: выбор пары индексов и.  

• Мощность множества - количество элементов.  

• Пример: выборка пяти друзей для звонков.  

• Правила сложения и умножения применяются в зависимости от условий задачи.  

• Пример: трехзначные, четырехзначные или пятизначные числа.  

• Обсуждение способов очередности звонков друзьям.  

• Упорядоченный набор звонков, начиная с первого друга.  

• Применение правил произведения для подсчета возможных комбинаций.  

• Пример с подбрасыванием игрального кубика для понимания правил сложения.  

• Подсчет количества выпадений на каждом кубике.  

• Сложение результатов для получения общего числа выпадений.  

• Задача о распределении медалей между десятью участниками.  

• Применение правил произведения для подсчета возможных комбинаций.  

• Объяснение, почему медали три, а не десять.  

• Введение основных формул комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания.  

• Объяснение перестановок как комбинаций, отличающихся только порядком.  

• Пример с семью различными фамилиями и их перестановками.  

• Задача о порядке выступления трех участников конкурса.  

• Решение задачи с использованием правил произведения.  

• Задача о составлении шестизначных чисел из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5.  

• Условие о том, что цифры не повторяются.  

• Решение задачи с использованием формул сложения и произведения.  

• Шестизначные числа, кратные пяти, должны оканчиваться на 0 или 5.  

• Число, оканчивающееся на 0, имеет 5! вариантов.  

• Число, оканчивающееся на 5, имеет 4! вариантов.  

• Число, начинающееся на 0, имеет 4! вариантов.  

• Число, начинающееся на 1, имеет 3! вариантов.  

• Число, начинающееся на 2, имеет 2! вариантов.  

• Число, начинающееся на 3, имеет 1! вариантов.  

• Числа, оканчивающиеся на 0, не могут оканчиваться на 5.  

• Сложение 120 + 96 дает 216 чисел.  

• Второй способ: вычитание чисел, начинающихся на 0.  

• Размещение: выборка элементов без возвращения.  

• Формула для размещения: произведение элементов без возвращения.  

• Пример: размещение из 5 элементов по 3.  

• Ответ: 60 трехзначных чисел, 120 четырехзначных, 12 пятизначных.  

• Всего: 300 чисел.  

• Объяснение понятий: перестановки, размещения, сочетания.  

• Уточнение: трехзначные числа не могут быть четырехзначными.  

• Рассматривается задача о составлении дробей из чисел 3, 5, 7, 11, 13, 17.  

• В каждую дробь должно входить два числа, чтобы она не сокращалась.  

• Упорядоченная выборка, так как числитель и знаменатель неравны.  

• Упорядоченная выборка из шести элементов по два.  

• Пример: 3/5 и 5/3.  

• Умножение 6 на 5 для определения количества возможных комбинаций.  

• Размещение из шести по два: 6 умножить на 5.  

• Пример: 3, 5, 3, 5, 7, 11, 13, 17.  

• Числитель и знаменатель можно менять местами, но это не меняет результат.  

• Мощность пары: 6 умножить на 5 = 30.  

• Пример: 3 в числителе и 17 в знаменателе.  

• Формула: n! / (n - k)!  

• Пример: 6! / (6 - 3)! = 20.  

• Объяснение: n факториал делится на n минус k факториал.  

• Формула: n! / k! / (n - k)!  

• Пример: 6! / 3! / (6 - 3)! = 10.  

• Объяснение: n факториал делится на k факториал и n минус k факториал.  

• Примеры задач с использованием формул для размещений и сочетаний.  

• Указание на использование формул в зависимости от условий задачи.  

• Рассматривается задача на комбинации из трех чисел.  

• Важно только количество элементов, а не их порядок.  

• Решение: 3 на 2 на 1, что равно 3.