Производные функций заданных параметрически и неявно.

• Приветствие и начало стрима, посвященного подготовке к сессии.  

• Обсуждение производных функций, заданных неявно и параметрически.  

• План: обсуждение теории и практики, включая доказательства формул.  

• Обсуждение экстремумов функций многих переменных.  

• Необходимые и достаточные условия существования экстремумов.  

• Программа стрима составлена на основе запросов зрителей.  

• Определение параметрически заданных функций.  

• Пример: функция y = f(x) задана параметрически через систему уравнений.  

• Параметрическое задание функции и его особенности.  

• Обсуждение дифференцирования параметрически заданных функций.  

• Функция y = f(x) задана неявно через систему уравнений.  

• Нахождение производной функции y = f(x) как зависимости от параметра t.  

• Обсуждение замены икс на игрек в формулах.  

• Введение условий для дифференцирования функций.  

• Преобразование неявного задания функции в явное.  

• Требование дифференцируемости функций икс и игрек.  

• Превращение функции в явный вид для дифференцирования.  

• Введение обратной функции для икс от т.  

• Определение обратной функции и её окрестности.  

• Построение графика функции икс от т.  

• Преобразование области определения и значений обратной функции.  

• Обратная функция не нужна для вычисления производной.  

• Преобразование функции игрек от т в функцию от икс.  

• Композиция функций и её дифференцирование.  

• Применение формулы производной композиции.  

• Упрощение выражения для производной игрек по икс.  

• Использование производной обратной функции.  

• Формула производной обратной функции.  

• Применение теоремы производной обратной функции.  

• Доказательство формулы для дифференцирования игрек по икс.  

• Пример применения формулы для дифференцирования.  

• Условие, что производная икс по т не равна нулю.  

• Ограничения и условия для использования формулы.  

• Пример задания параметрической функции.  

• Функция задана формулой: x = √2t - t^2, y = arcsin t - 1.  

• Функция монотонна на всей числовой прямой, кроме корней нечетной кратности.  

• При t от 0 до 2 функция положительна.  

• Производная функции по x в точке x0 равна отношению производных y по t в точке t0 к производной x по t в точке t0.  

• Производная арксинуса равна 1 / √1 - t^2, производная корня - 1 / 2√2t - t^2.  

• Производная корня равна 1 / 2, производная под корнем - 2 - 2t.  

• После упрощений получаем 1 / 1 - t.  

• Проверка правильности вычисления производной.  

• Объяснение зависимости x0 от t0 через формулу.  

• Формула для второй производной функции.  

• Применение формулы к параметрическому заданию.  

• Применение формулы для вычисления второй производной.  

• Применение формулы для вычисления третьей производной.  

• Функции x и y заданы системой: x = a*t - a*t*sin t, y = a*t - a*cos t.  

• Параметр a.  

• Нужно найти первую производную y по x и вторую производную y по x.  

• Первая производная y по x равна отношению производной y по t к производной x по t.  

• Производная y по t равна a*sin t, производная x по t равна a*cos t.  

• При a = 0 обе функции y равны нулю.  

• При a не равно нулю можно сократить на a.  

• Выражение упрощается до sin t*a*cos t.  

• Вторая производная y по x равна первой производной y по x, умноженной на первую производную x по t.  

• Вторая производная x по t равна первой производной x по t, умноженной на вторую производную y по t.  

• Упрощение выражения для второй производной y по x.  

• Вычисление и упрощение выражения для второй производной x по t.  

• Вторая производная y по x найдена.  

• Переход к изучению производных неявно заданных функций.  

• В неявно заданных функциях вычисления проще, чем в параметрически заданных.  

• Функция типа f от x, y равно нулю задает зависимость между x и y.  

• Не всегда можно выразить x как функцию от y или y как функцию от x.  

• Если удалось выразить функцию явно, производную можно посчитать как для явно заданной функции.  

• Пример функции: x^3 + y^3 - y^5 - x = 0.  

• Найти производную y по x в точке x = 1, если y = 1.  

• Выразить y явно как функцию от x невозможно, но можно дифференцировать соотношение по x.  

• После дифференцирования по x, y-штрих всегда можно выразить линейно.  

• Производная - это линейная операция, что позволяет выразить y-штрих.  

• Пример: дифференцирование x^3 по x дает 3x^2, а y^3 - 3y^2.  

• Дифференцирование y^5 по x дает -5y^4.  

• Выражение y-штрих: 1 - 3x^2 / 3y^2 - 5y^4.  

• Подстановка значений в точке x = 1: y = 1, y^2 = 1, y^4 = 1.  

• Вторая производная требует более строгих условий.  

• В данном примере вычисление возможно, но без обоснования.  

• В будущем будет рассмотрено обоснование в более слабых условиях.  

• Пример с логарифмической функцией: логарифм x^2 + y^2 = x - y.  

• Нахождение первой производной: дифференцирование логарифма и правой части.  

• Выражение y' через x и y.  

• Упрощение выражения для первой производной.  

• Дифференцирование выражения для первой производной.  

• Вычисление второй производной через произведение производных.  

• Перенос всех членов в левую часть и деление на коэффициент перед y'.  

• Подстановка выражения y' через x и y в выражение для второй производной.  

• Упрощение выражения для второй производной.  

• Обсуждение сложностей многократного дифференцирования.  

• Проблемы возникают при дифференцировании произведений.  

• Введение в теорию дифференцирования произведений.  

• Формула Лейбница позволяет найти производную произведения функций.  

• Первая производная произведения функций равна сумме производных каждой функции.  

• Формула Лейбница включает биномиальные коэффициенты и производные функций.  

• Формула Лейбница зависит от порядка производной и произведения функций.  

• Для n=1 формула верна, так как произведение функций равно сумме их производных.  

• Доказательство проводится методом математической индукции.  

• База индукции: формула верна для n=1.  

• Шаг индукции: доказать формулу для n+1, используя индукционное предположение.  

• Дифференцирование равенства функций для повышения порядка производной.  

• Произведение функций можно дифференцировать по правилу Лейбница.  

• Порядок производной увеличивается на единицу для каждого слагаемого.  

• Разбиение суммы на две части для удобства.  

• Индексы суммирования сдвигаются для удобства.  

• Замена индексов суммирования для согласования индексов.  

• Приведение сумм к общему индексу суммирования для объединения.  

• Объединение сумм с одинаковыми индексами суммирования.  

• Приведение к общему виду для доказательства формулы Лейбница.  

• Итоговая формула включает производные функций и биномиальные коэффициенты.  

• Объяснение, что выражение "н минус м плюс первая производная у" и "мт производная в" имеют одинаковый вид, но с разными коэффициентами.  

• Вынесение за скобки и обсуждение суммы биномиальных коэффициентов.  

• Утверждение, что сумма биномиальных коэффициентов равна биномиальному коэффициенту по м и зен плюс один.  

• Объяснение, что сумма биномиальных коэффициентов является количеством выборок из одного по м элементов.  

• Разделение выборок на две группы: с последним элементом, входящим в множество, и без него.  

• Получение формулы Лейбница через треугольник Паскаля.  

• Пример с функцией y = x^3 + 4x^2 + 2e^2x и нахождением её десятой производной.  

• Использование формулы Лейбница для вычисления производной произведения функций.  

• Обнуление производных многочлена третьей степени, что упрощает расчёт.  

• Вычисление факториалов и производных многочлена третьей степени.  

• Применение формулы Лейбница для дифференцирования произведения функций.  

• Финальный ответ и объяснение, как формула Лейбница помогает дифференцировать произведения больших степеней.  

• Призыв задавать вопросы в чате.  

• Переход к обсуждению параметрических производных и экстремумов функций многих переменных.  

• Функция многих переменных зависит от n переменных, но принимает значения в R.  

• Экстремум функции многих переменных - это локальный минимум или максимум.  

• Точка называется точкой локального минимума, если в её окрестности значения функции больше, чем в самой точке.  

• Точка называется точкой локального максимума, если в её окрестности значения функции меньше, чем в самой точке.  

• Многомерная лемма Ферма: если функция дифференцируема в точке x0, то все её частные производные равны нулю.  

• Доказательство аналогично одномерной лемме Ферма: фиксируем все переменные, кроме одной, и доказываем, что частная производная не может иметь отличный от нуля знак.  

• За 10 дней можно подготовиться к сессии по предмету, если активно использовать материалы и задавать вопросы кураторам.  

• Курс помогает осилить материал и сдать экзамен на высокий балл.  

• Достаточные условия экстремума помогают определить, является ли точка локальным экстремумом.  

• Для функции двух переменных второй дифференциал помогает определить, является ли точка локальным минимумом или максимумом.  

• Второй дифференциал функции двух переменных равен сумме вторых частных производных по каждой переменной.  

• Теорема Шварца утверждает, что вторые частные производные можно переставить местами, что упрощает вычисления.  

• Матрица второго дифференциала функции двух переменных содержит вторые производные по каждой переменной и смешанные производные.  

• Матрица помогает определить, является ли точка локальным минимумом, максимумом или седловой точкой.  

• Если вторая производная по x больше нуля и детерминант матрицы второго дифференциала больше нуля, то точка является локальным минимумом.  

• Если вторая производная по x меньше нуля и детерминант больше нуля, то точка является локальным максимумом.  

• Если детерминант меньше нуля, то точка является седловой точкой, не являющейся локальным экстремумом.  

• Описаны три случая: детерминант больше нуля, детерминант меньше нуля и детерминант равен нулю.  

• В случае детерминанта, равного нулю, требуется дополнительное исследование.  

• Достаточное условие не работает, если детерминант равен нулю.  

• Если детерминант равен нулю, метод не сработал, и нужно исследовать самостоятельно.  

• Примеры для функций двух и трех переменных.  

• Доказательства будут на втором семестре, пока нужно верить в достаточные условия.  

• Исследовать функцию двух переменных на локальные экстремумы.  

• Найти критические точки, где обе частные производные равны нулю.  

• Решить систему уравнений для нахождения критических точек.  

• Система уравнений: шесть икс плюс игрек минус один равно нулю и икс плюс четыре игрек минус четыре равно нулю.  

• Решение: икс равно нулю, игрек равно единице.  

• Проверка на экстремум: икс равно нулю, игрек равно единице.  

• Выписать матрицу вторых производных.  

• Смешанные производные: д- квадрат зет по д- икс игрек равно единице.  

• Подставить икс-ноль, игрек-ноль в матрицу.  

• Матрица вторых производных зависит от икса и игрика.  

• Д- квадрат зет по д- икс квадрат больше нуля.  

• Детерминант больше нуля, следовательно, икс-ноль, игрек-ноль - локальный минимум.