Теория групп 3. Первая и вторая теоремы об изоморфизме. Действие группы

• В прошлый раз обсуждалась основная теорема о гомоморфизме.  

• Последний пункт теоремы утверждает, что образ гомоморфизма изоморфен фактор-группе исходной группы по ядру.  

• Явный вид гомоморфизма: образ элемента соответствует левому или правому смежному классу по ядру.  

• Пример с гомоморфизмом знака из S_n в Z_2.  

• Образ гомоморфизма равен всей группе Z_2.  

• Ядро гомоморфизма - четные перестановки, которые являются нормальной подгруппой.  

• Основная теорема о гомоморфизме утверждает, что фактор-группа по ядру изоморфна Z_2.  

• Введение канонического эпиморфизма из группы в фактор-группу.  

• Первая теорема об изоморфизмах: если A - нормальная подгруппа в G, то A пересечение с G также нормальная подгруппа в G.  

• Изоморфизм фактор-групп: фактор-группа по A пересечению с G изоморфна фактор-группе по A.  

• Канонический эпиморфизм действует на подгруппу A.  

• Образ эпиморфизма - множество левых смежных классов.  

• Ядро эпиморфизма - пересечение A с G, которое является нормальной подгруппой в G.  

• Образ эпиморфизма на подгруппе G - это фактор-группа по пересечению A с G.  

• Явный вид гомоморфизма: каждый элемент из A отображается в левый смежный класс по подгруппе A.  

• Гомоморфизм переводит A в левый смежный класс по пересечению A с G.  

• Это можно увидеть непосредственно из описания изоморфизма в основной теореме гомоморфизма.  

• Рассматривается группа C4 и её подгруппа C3.  

• Вводится подгруппа C4, состоящая из нейтрального элемента и произведений двух независимых транспозиций.  

• Подгруппа C4 является нормальной в C4, так как состоит из классов сопряженности.  

• Элементы группы C4 могут ставить любой элемент на четвертое место.  

• Элементы группы C3 могут переставлять первые три элемента.  

• Произведение этих подгрупп дает все возможные перестановки в C4.  

• Фактор-группа C4 по C4 изоморфна C3.  

• Подгруппа C4 состоит из двух классов сопряженности: нейтральный элемент и три перестановки.  

• Класс сопряженности перестановки включает все перестановки одного с ней циклического типа.  

• Вторая теорема об изоморфизме включает два пункта.  

• Первый пункт описывает структурное описание подгрупп.  

• Второй пункт касается изоморфизма между подгруппами.  

• Для любой подгруппы A в группе G и нормальной подгруппы K в G, можно определить фактор-группу A/K.  

• Соответствие между A и A/K является объекцией между множествами подгрупп.  

• Никаких новых подгрупп не появляется при таком соответствии.  

• Подгруппа A нормальна в G тогда и только тогда, когда A/K нормальна в G/K.  

• В этом случае теорема об изоморфизме применима.  

• Рассматривается ограниченная арифметика, где нужно, чтобы к содержалось во всех элементах.  

• Доказывается, что подгруппа с чертой замкнута относительно произведения.  

• Используется канонический эпиморфизм пи для доказательства.  

• Предъявляется отображение из подгруппы в подгруппу.  

• Определяется отображение эль со звездочкой как пи в минус первый от эль.  

• Доказывается, что эти два отображения взаимно обратны.  

• Объясняется, что пи в минус первый от пи от аш равно аш, умноженному на ядро гомоморфизма.  

• Доказывается, что пи в минус первый от пи от эль равно эль.  

• Утверждается, что соответствие между аш и аш-чертой является объекцией.  

• Доказывается, что пи в минус первый от эль является подгруппой в ж один.  

• Объясняется, что если а и б лежат в пи в минус первый от эль, то пи а и пи б также лежат в эль.  

• Утверждается, что прообраз любой подгруппы при любом гомоморфизме является подгруппой.  

• Доказывается, что пи в минус первый от пи от аш равно аш, умноженному на ядро гомоморфизма к.  

• Утверждается, что для каждого элемента группы аш по отдельности будет этот элемент, умноженный на к.  

• Доказывается, что первый пункт теоремы доказан.  

• Если подгруппа H нормальна в группе G, то H с чертой также нормальна.  

• Для любого элемента g из G, gH = Hg.  

• Это можно доказать с помощью канонического гомоморфизма.  

• Если H с чертой нормально в G, то H изоморфно H с чертой.  

• Рассматривается канонический эпиморфизм Teta.  

• Композиция Teta и Pia действует из G в G/H.  

• Ядро композиции Teta и Pia равно H с чертой.  

• Это доказывает, что H нормально в G.  

• Теорема о гомоморфизме полностью доказана.  

• Рассматривается группа Z и её подгруппы.  

• Подгруппы имеют вид kZ, где k делит n.  

• Факторгруппа Z/nZ изоморфна Z/kZ.  

• Понятие действия группы на множестве является базовым в теории групп.  

• Группы преобразований включают группы перестановок и линейные операторы.  

• Понятие действия группы позволяет интерпретировать группы как преобразования объектов.  

• Действие группы G на множестве O определяется отображением из декартова произведения GxO в O.  

• Отображение удовлетворяет двум свойствам: каждый элемент группы G преобразует O и произведение элементов группы действует соответствующим образом.  

• Произведение преобразований должно быть композицией.  

• Для любого элемента омега, действие должно быть тождественным отображением.  

• Эти два свойства определяют действие группы на множестве.  

• Действие группы на множестве задается гомоморфизмом.  

• Обозначается через и из же в омегу.  

• Группа перестановок множества омега.  

• Два определения равносильны.  

• Построение гомоморфизма из действия группы.  

• Проверка свойств гомоморфизма.  

• Обозначение элементов через и с индексом же.  

• Задание отображения из же на омегу.  

• Проверка свойств отображения.  

• Построение отображения из омеги в омегу.  

• Проверка тождественности отображения.  

• Доказательство, что и переводит каждый элемент в перестановку.  

• Доказательство, что и является объекцией.  

• Композиция двух образов равна образу произведения.  

• Иже является перестановкой и объекцией.  

• Ядро действия группы.  

• Точное действие группы.  

• Свободное действие группы.  

• Примеры действия группы на множестве.  

• Примеры точного и свободного действия группы.  

• Группа Dn действует на множество точек правильного многоугольника.  

• Группа Dn является подгруппой группы O2.  

• Действие группы Dn на множество вершин многоугольника эффективно при n больше двух.  

• Каждое нетривиальное преобразование группы Dn переставляет вершины.  

• Для двуугольника группа D2 не является эффективной, так как симметрия относительно прямой оставляет вершины на месте.  

• При n больше двух, каждое нетривиальное преобразование переводит хотя бы одну вершину.  

• Группа Dn действует на множество сторон и ребер правильного многоугольника.  

• Существует гомоморфизм из Dn в Sn, который является вложением.  

• Группа Dn вкладывается в Sn, что задает действие на множество сторон и ребер.  

• Группа Sn действует на множество, переставляя его элементы.  

• Группа GLn действует на множество столбцов длины n.  

• Группа GLn действует на подпространства в векторном пространстве.  

• Группа Sn может действовать на декартов квадрат множества.  

• Группа GLn действует на пары векторов.  

• Группа GLn действует на подпространства векторного пространства.  

• Много примеров действий групп будут рассмотрены на следующей лекции.