Лекция 25. Прямые суммы, линейная независимость

• Обсуждение теоремы Метер и переход к теме прямых сумм.  

• Введение двух интерпретаций прямых сумм: внутренняя и внешняя.  

• Внешняя прямая сумма как множество пар элементов из двух модулей.  

• Внешняя прямая сумма как новый модуль, в который вкладываются два модуля.  

• Пример с проективными модулями и операциями сложения и умножения.  

• Внешняя прямая сумма как множество пар элементов с покомпонентными операциями.  

• Внутренняя прямая сумма как подмодуль существующего модуля.  

• Условия, при которых модуль является внутренней прямой суммой.  

• Утверждение, что внутренняя прямая сумма изоморфна внешней прямой сумме.  

• Доказательство, что внутренняя прямая сумма совпадает с внешней прямой суммой.  

• Утверждение о существовании и единственности элементов для внутренней прямой суммы.  

• Линейное отображение из внутренней прямой суммы во внешнюю прямую сумму.  

• Введение проекций и проекторов для внутренней прямой суммы.  

• Различие между проекциями и проекторами.  

• Тождественное отображение как сумма проекторов.  

• Обобщение на конечное число слагаемых.  

• Внешняя прямая сумма конечного числа модулей.  

• Внутренняя прямая сумма подмодулей в существующем модуле.  

• Пример внутренней прямой суммы подмодулей в модуле.  

• Условия, при которых модуль изоморфен внутренней прямой сумме.  

• Важность понимания условий для изоморфизма.  

• Обсуждение прямой суммы на плоскости.  

• Пример с тремя прямыми, пересекающимися в нуле.  

• Условие, что каждое слагаемое пересекается с суммой остальных по нулю.  

• Различие между прямой суммой и прямым произведением.  

• Прямая сумма для конечного числа слагаемых.  

• Прямое произведение для бесконечного числа слагаемых.  

• Определение линейной независимости для модулей.  

• Векторы называются линейно независимыми, если их линейная комбинация равна нулю только при всех коэффициентах, равных нулю.  

• Нетривиальная линейная зависимость и принцип компактности.  

• Пустое семейство линейно независимо.  

• Один вектор образует линейно независимое семейство, если он не равен нулю.  

• Два вектора линейно зависимы, если они компланарны.  

• Базисы и порождающие системы линейно независимы.  

• Пример стандартного базиса для поля из одного элемента.  

• Пример стандартного базиса для матриц.  

• Стандартный степенной базис многочленов включает стандартные одночлены.  

• Это линейно независимое семейство, называемое равенством многочленов.  

• Семейство включает одночлены, икс, икс квадрат и так далее, и оно бесконечно.  

• Стандартный базис многочленов называется стандартным базисом многочленов.  

• Он не всегда лучший, но линейно независим.  

• Если два многочлена равны, то все их коэффициенты равны нулю.  

• Автор делает перерыв и обещает продолжить после перерыва.