Теоретическая механика. Лекция №3: Интегралы движения

• Интегралы движения - это сохраняющиеся величины в механической системе.  

• Они важны для понимания законов сохранения.  

• Обсуждается, как найти и использовать интегралы движения.  

• Уравнения Лагранжа - это дифференциальные уравнения второго порядка.  

• Общее решение системы уравнений содержит два с произвольных постоянных.  

• Эти постоянные могут быть начальными значениями координат и скоростей.  

• Обобщенные координаты и скорости зависят от времени и постоянных.  

• Для замкнутой системы можно исключить одну из постоянных, так как функция Лагранжа не зависит от времени.  

• Остается два с минус один независимых постоянных, которые называются интегралами движения.  

• Интегралы движения упрощают анализ движения систем.  

• Использование свойств пространства и времени помогает найти интегралы без решения уравнений.  

• Это метод важен для теоретической физики и других разделов.  

• Циклические координаты - это координаты, от которых функция Лагранжа не зависит.  

• Обобщенный импульс сохраняется для таких координат.  

• Пример: функция Лагранжа материальной точки в цилиндрических координатах.  

• В случае равномерно заряженной нити функция Лагранжа зависит только от одной координаты.  

• Сохраняются проекции импульса и квадрат скорости.  

• Важно выбирать обобщенные координаты с максимальным количеством циклических координат.  

• Обсуждаются свойства пространства и времени, которые обсуждались на прошлой лекции.  

• Время однородно, что означает, что функция Лагранжа замкнутой системы не должна явно зависеть от времени.  

• Частная производная функции Лагранжа по времени должна быть равна нулю.  

• Полная производная функции Лагранжа включает частные производные по координатам и скоростям.  

• Полная производная функции Лагранжа представляет собой сумму производных по координатам и скоростям.  

• Сохранение этой суммы означает сохранение энергии системы.  

• Энергия системы сохраняется для замкнутой системы.  

• Энергия системы равна сумме кинетической и потенциальной энергии.  

• Кинетическая энергия системы является функцией второго порядка относительно скоростей.  

• Пространство однородно, если перенос системы из одной точки в другую не меняет физические условия.  

• Сдвиг всех координат на одну и ту же величину не должен изменять функцию Лагранжа системы.  

• Полный импульс замкнутой системы сохраняется.  

• Полный импульс замкнутой системы сохраняется при сдвиге координат.  

• Импульсы отдельных частиц могут меняться, но полный импульс сохраняется.  

• Это приводит к третьему закону Ньютона.  

• Вращение системы вокруг произвольной оси не должно изменять физические условия.  

• Изменение функции Лагранжа при повороте системы должно быть однородным.  

• Изменение координат и скоростей частиц при повороте системы должно быть одинаковым.  

• Обсуждение уравнения Лагранжа в декартовых координатах.  

• Введение смешанного произведения и его циклической перестановки.  

• Вывод интеграла движения, называемого моментом импульса системы.  

• Важность однородности и изотропности пространства и времени.  

• Число независимых интегралов движения для материальной точки.  

• Согласование числа независимых интегралов с числом степеней свободы.  

• Проекция момента импульса в цилиндрической симметричной системе.  

• Сохранение момента импульса в изотропном пространстве.  

• Сохранение проекции момента импульса на ось в системах с выделенной симметрией.  

• Введение теоремы Нетер для нахождения интегралов движения.  

• Преобразование координат и времени, сохраняющее функцию Лагранжа.  

• Вывод интеграла движения на основе теоремы Нетер.  

• Применение теоремы Нетер в механике и теории поля.  

• Примеры использования для сложных систем, таких как поле винтовой линии.  

• Демонстрация работы техники для различных преобразований координат и времени.  

• Спираль с постоянным шагом и одинаковой плотностью заряда.  

• Решение уравнения движения в такой системе сложно из-за отсутствия простой симметрии.  

• Применение преобразования, которое не меняет физических условий при одновременном изменении координат.  

• Вопрос о величине поворота по углу фи для сохранения условий.  

• Введение обозначения для шага спирали аш.  

• Преобразование, затрагивающее две обобщенные координаты, с коэффициентами, зависящими от шага спирали.  

• Преобразование приводит к интегралу движения, включающему импульс и момент импульса.  

• Заряженная частица в поле спирали испытывает сложное движение, но комбинация импульса и момента импульса сохраняется.  

• Теорема позволяет найти второй интеграл и упростить решение задачи.  

• Понятие плоской волны: поле зависит только от одной координаты.  

• Поле плоской волны не зависит от координат в плоскости, перпендикулярной направлению распространения.  

• Применение теоремы для нахождения интегралов движения в системе с плоской волной.  

• Переход из одной системы отсчета в другую.  

• Преобразование импульса при переходе из одной инерциальной системы в другую.  

• Энергия системы распадается на кинетическую энергию и внутреннюю энергию при переходе в систему центра инерции.  

• Момент импульса преобразуется при переносе начала отсчета и при переходе в систему центра инерции.  

• В системе центра инерции момент импульса не зависит от точки вычисления.  

• Преобразование момента импульса при переходе в систему, движущуюся со скоростью относительно первой.  

• Преобразование импульса: pA = pA' + ma.  

• Центр масс системы остается неподвижным при переходе между системами отсчета.  

• Векторное произведение радиус-вектора центра масс на скорость системы отсчета.  

• Уравнения Лагранжа обратимы во времени.  

• Преобразование времени меняет знак производной координаты, но не меняет уравнение.  

• Обратимость позволяет анализировать движение системы в обратном направлении.  

• Преобразование координат и времени сохраняет функцию Лагранжа.  

• Если потенциальная энергия однородна, преобразование не меняет уравнения движения.  

• Механическое подобие позволяет находить траектории, масштабируемые по координатам и времени.  

• Пример с полем тяготения Ньютона.  

• Изменение пространственных и временных масштабов сохраняет уравнения движения.  

• Вывод третьего закона Кеплера без решения уравнений.  

• Подведение итогов.  

• Благодарность за внимание.  

• Прощание.