Лекция 28. Виды уравнения прямой в пространстве.

• Уравнение прямой в пространстве аналогично уравнению прямой на плоскости.  

• Для задания прямой нужно указать точку и направляющий вектор.  

• Точка с координатами x0, y0, z0 является началом движения вдоль направляющего вектора m.  

• Вектор px пропорционален вектору m, где px = tm.  

• Параметрическое уравнение прямой: x - x0 = ta, y - y0 = tb, z - z0 = tc.  

• Параметр t - произвольное вещественное число.  

• Исключаем параметр t из уравнений и приравниваем коэффициенты.  

• Получаем систему уравнений: x - x0/a = y - y0/b и x - x0/a = z - z0/c.  

• Это уравнение прямой как линии пересечения двух плоскостей.  

• Две плоскости пересекаются по прямой, если их нормали не пропорциональны.  

• Векторы a, b, c и a1, b1, c1 не должны быть пропорциональны.  

• Это условие равносильно всем трем уравнениям прямой.  

• Направляющий вектор прямой можно найти через векторное произведение нормалей плоскостей.  

• Векторное произведение a, b, c и a1, b1, c1 дает вектор, перпендикулярный плоскости альфа.  

• Этот вектор является направляющим вектором прямой.  

• Пример задачи: точка P с координатами 1, 1, 1 и вектор m 1, 2, 3.  

• Параметрическое уравнение: x, y, z = 1, 1, 1 + tm.  

• Уравнение в виде пропорции: x - 1/a = y - 1/b и x - 1/a = z - 1/c.  

• Уравнения плоскостей: 2x - y = 1 и 3x - z = 1.  

• Векторное произведение нормалей: a, b, c и a1, b1, c1.  

• Направляющий вектор: 1, 2, 3.  

• Находим точку P: y = 2x -